Continuidade e Derivabilidade de Funcións

Continuidade de Funcións

Podemos distinguir distintos tipos de descontinuidade:

• De salto: \(i_1 = \lim f(x) \neq \lim f(x) = i_2\)
• De 2ª especie: Algún dos límites (ou ambos) non existen.
• Evitables: \(\lim f(x) \neq f(a)\), cando \(x\) tende a \(a\).

Propiedades das Funcións Continuas

Se \(f(x)\) e \(g(x)\) son funcións continuas en \(x = a\), entón tamén son continuas en \(x = a\) as funcións:

• \(f + g\)
• \(f - g\)
• \(f \cdot g\)
• \(f/g\) (se \(g(a) \neq 0\))

Casos particulares:

• A función polinómica, \(y = P(x)\), é continua en todo \(\mathbb{R}\).
• A función racional, \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\), é continua en todo \(\mathbb{R}\) excepto nos puntos que anulan o denominador.
• A función irracional, \(y = \sqrt[n]{P(x)}\), é continua no seu dominio.
• A función exponencial, \(y = a^x\), é continua en todo \(\mathbb{R}\).
• A función logaritmo, \(y = \log_a x\), é continua en \((0, +\infty)\).

En xeral, as funcións elementais son continuas no seu dominio.

Se \(f(x)\) é continua en \(x = a\) e \(g(x)\) é continua no punto \(f(a)\), entón a función composta \(g \circ f\) é continua en \(x = a\).

Teorema de Bolzano

Se \(f\) é unha función continua nun intervalo pechado \([a, b]\) e o signo de \(f(a)\) é distinto do signo de \(f(b)\), entón existe polo menos un \(c \in (a,b)\) tal que \(f(c) = 0\).

Interpretación: Se os puntos \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\) dunha función continua están en diferentes lados do eixe OX, entón a gráfica da función corta o eixe OX en polo menos un punto. Se consideramos a ecuación \(f(x) = 0\), con \(f\) nas hipóteses de Bolzano, o teorema garante a existencia de polo menos unha solución (raíz) da ecuación no intervalo \((a, b)\). O teorema de Bolzano garante que existe polo menos un punto que cumpre que \(f(c) = 0\), pero non di que ese punto sexa único; pode darse o caso no que existan varios puntos de corte da función co eixe OX.

Teorema dos Valores Intermedios

Sexa \(f\) unha función continua no intervalo pechado \([a, b]\) e sexa \(k\) un valor comprendido entre \(f(a)\) e \(f(b)\), entón existe un \(c \in (a, b)\) tal que \(f(c) = k\).

Teorema de Weierstrass

Sexa \(f\) unha función continua no intervalo pechado \([a, b]\), entón \(f\) alcanza o máximo e o mínimo absoluto nese intervalo.

Derivada dunha Función nun Punto

Diremos que unha función é derivable no punto \(x = a\) cando \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \] existe e é un número real. Este número é a derivada de \(f\) en \(a\) e desígnase por \(f'(a)\).

Se facemos \(x = a+h\), entón \(h= x - a\) e cando \(h \to 0\) entón \(x \to a\). Substituíndo na definición de derivada obtense outra forma de escribir a derivada:

\[ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \]

Interpretación Xeométrica da Derivada

Temos unha función \(y = f(x)\) e un punto \(A(a, f(a))\). Consideramos un conxunto de puntos \(A_1, A_2, A_3, \dots, A_n, \dots\) aproximándose ao punto \(A\). Se os puntos \(A_i\) tenden a \(A\), as rectas secantes \(AA_1, AA_2, \dots, AA_n, \dots\) aproxímanse a unha recta \(t\) que coincide coa idea intuitiva de recta tanxente á gráfica da función no punto \(A\). Polo tanto, a recta tanxente a unha curva no punto \(A\) é a posición límite, se existe, das rectas secantes determinadas por \(A\) e \(A_n\) cando \(A_n\) se aproxima a \(A\).

As rectas secantes que pasan por \(A\) quedan completamente determinadas pola súa pendente, xa que o punto \(A\) é fixo. Se \(A(a, f(a))\) e \(A_i(x_i, f(x_i))\) son as coordenadas de \(A\) e un punto calquera \(A_i\), a pendente da recta secante \(AA_i\) será: