Continuidad, Derivadas y Matrices: Conceptos Clave en Matemáticas

Continuidad de una Función

-Función continua: Una función f es continua en un punto x=a de su dominio si lim f(x) (cuando x tiende a a) = f(a). Esto implica que existe el límite de la función en el punto x=a, f está definida en x=a, existe f(a), y ambos valores son iguales.

Tipos de Discontinuidad

1. Discontinuidad evitable: Existe el límite pero no coincide con f(a). lim f(x) (cuando x tiende a a) ≠ f(a)
2. Discontinuidad de 1ª especie o de salto: Existen los límites laterales pero no son iguales. L1 = lim f(x) (cuando x tiende a a +) ≠ lim f(x) (cuando x tiende a a -) = L2.
3. Discontinuidad de 2ª especie: Cuando alguno (o ambos) de los límites laterales no existen.

Asíntotas

AH: lim f(x) (cuando x tiende a +-inf) = nº.

AV: lim f(x) (cuando x tiende a a) = +- inf. Lim f(x) (cuando x tiende a a+) = +-inf, lim f(x) (cuando x tiende a a-) = +-inf.

AO: y=mx+n / m=lim (cuando x tiende a +- inf) f(x)/x, n= lim (cuando x tiende a +- inf) (f(x)-mx)

Condiciones

Una función no puede tener dos AH y AO al mismo tiempo. Si hay dos AH no hay AO.

Continuidad y Derivabilidad

-Continuidad y derivabilidad: Si f es derivable en x=a entonces es continua en ese punto. Si una f no es continua en un punto tampoco es derivable en ese punto. Existen funciones continuas en un punto que no son derivables en ese mismo punto.

Estudio de la Derivabilidad

-Estudio de la derivabilidad en una función definida a trozos: Para estudiar la derivabilidad estudiamos si f es continua en x=a. Si no lo es ya no sería derivable. Calculamos f´(a-) = lim f1(x) (cuando x tiende a a-) y f´(a+) = lim f2(x) (cuando x tiende a a+). Si los dos existen y son iguales, f es derivable en x=a y ese es el valor de la derivada. En caso contrario no es derivable.

Fórmulas de Derivación

• y=k (y´=0)
• y=x (y´=1)
• y=u(x)+v(x) (y´=u´(x) + v´(x))
• y=k*u(x) (y´=k*u´(x))
• y=u(x)*v(x) (y´=u´(x)*v(x)+u(x)*v´(x))
• y=u(x)/v(x) (y´=(u´(x)*v(x)-u(x)*v´(x))/v²(x))
• y=xⁿ (y´=n*x^n-1)
• y=lnx (y´=1/x)
• y=log_ax (y´=1/(x*log_ae))
• y=e^x (y´=e^x)
• y=a^x (y´=a^x*ln(a))
• y=sen(x) (y´=cos(x))
• y=cos(x) (y´=-sen(x))
• y=tg(x) (y´=1/cos²(x))
• y=cotg(x) (y´=-1/sen²(x))
• y=arcsen(x) (y´=1/√(1-x²))
• y=arccos(x) (y´=-1/√(1-x²))
• y=arctg(x) (y´=1/(1+x²))

Regla de L'Hôpital

-L´Hopital: Resolviendo te da una indeterminada y tienes que derivar. (0/0 o inf/inf). Si te da 0*inf (0/1/inf=0/0), inf-inf (inf-(1-inf/inf)), 1 elevado inf, inf elevado 0, 0 elevado 0 (f elevado g= e elevado g*lnf)

Propiedades de los Determinantes

-PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:

• det(F1+F´1,F2,F3)=det(F1,F2,F3)+det(F´1,F2,F3)
• det(kF1,F2,F3)=kdet(F1,F2,F3)
• det(AB)=det(A)·det(B)
• det(F1,F2,F3)=-det(F2,F1,F3)
• det(F1,F2,0)=0
• det(F1,F1,F3)=0
• det(F1,kF1,F3)=0
• det(F1,F2,aF2+bF1)=0
• Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, el det. No varía.
• Si a la 1 fila o columna de una matriz cuadrada se le + otra paralela multiplicamos por nº det. No varía.

Ecuaciones Matriciales

-ECUACIONES MATRICIALES:

• XA+B pasa a X=BA^-1
• AX+B=C pasa a X=A^-1(C-B)
• XA+B=2C pasa a X=(2C-B)A^-1
• AX+BX=C pasa a X(A+B)^-1C
• XAB-XC=2C pasa a X=2C(AB-C)^-1

Solución de Sistemas

-SOLUCIÓN DE SISTEMAS:

SI (no tiene soluciones) SCD (1 solución) SCI (infinitas soluciones)