Construcciones de Tangencias en Geometría: Rectas y Circunferencias

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Tangencia: Fundamentos y Construcciones Clave

La tangencia es un concepto fundamental en geometría, esencial para el diseño y la resolución de problemas gráficos. A continuación, se detallan los métodos de construcción para diversas situaciones de tangencia entre rectas y circunferencias.

2. Rectas Tangentes a Dos Circunferencias de Distinto Radio

Este apartado aborda la construcción de rectas que son tangentes simultáneamente a dos circunferencias con radios diferentes.

2.1 Rectas Tangentes Exteriores a Dos Circunferencias

Para trazar las rectas tangentes que no cruzan el segmento que une los centros de las circunferencias:

  1. Trazar una circunferencia auxiliar concéntrica a la circunferencia mayor, con un radio igual a la diferencia de los radios de las dos circunferencias dadas (Rmayor - Rmenor).
  2. Desde el centro de la circunferencia menor, trazar las rectas tangentes a esta circunferencia auxiliar.
  3. Unir los puntos de tangencia en la circunferencia auxiliar con el centro de la circunferencia mayor. Estas líneas son paralelas a las tangentes buscadas.
  4. Trazar las rectas tangentes exteriores definitivas, paralelas a las líneas obtenidas en el paso 3, pasando por los puntos de tangencia en las circunferencias originales.

2.2 Rectas Tangentes Interiores a Dos Circunferencias

Para trazar las rectas tangentes que sí cruzan el segmento que une los centros de las circunferencias:

  1. Trazar una circunferencia auxiliar concéntrica a la circunferencia mayor, con un radio igual a la suma de los radios de las dos circunferencias dadas (Rmayor + Rmenor).
  2. Trazar la mediatriz del segmento que une los centros de las dos circunferencias dadas. El punto medio será el centro de una circunferencia de Thales.
  3. Trazar la circunferencia de Thales con centro en el punto medio y que pase por los centros de las circunferencias dadas. Esta circunferencia cortará a la circunferencia auxiliar (del paso 1) en los puntos de tangencia.
  4. Unir el centro de la circunferencia menor con estos puntos de tangencia en la circunferencia auxiliar. Estas líneas son las rectas tangentes interiores a la circunferencia auxiliar.
  5. Trazar líneas desde el centro de la circunferencia mayor que pasen por los puntos de tangencia en la circunferencia auxiliar. Estas líneas definirán los puntos de tangencia en la circunferencia mayor.
  6. Trazar las rectas tangentes interiores definitivas, que pasen por los puntos de tangencia encontrados en ambas circunferencias.

3. Circunferencias Tangentes a Rectas

Esta sección describe cómo construir circunferencias que son tangentes a una o varias rectas, bajo diferentes condiciones.

3.1 Circunferencias Tangentes a una Recta Dado el Punto de Tangencia en la Recta y que Pase por un Punto Exterior

  1. Trazar una recta perpendicular a la recta dada en el punto de tangencia (T).
  2. Trazar la mediatriz del segmento que une el punto de tangencia (T) con el punto exterior (P).
  3. El punto de corte de la mediatriz (paso 2) con la recta perpendicular (paso 1) es el centro (O) de la circunferencia solución.
  4. Con centro en O y radio OT (o OP), trazar la circunferencia tangente.

3.2 Circunferencias Tangentes a Dos Rectas Dado el Punto de Tangencia de una de Ellas

  1. Trazar una recta perpendicular a la recta dada (donde se encuentra el punto de tangencia T) en el punto T.
  2. Trazar la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas dadas.
  3. El punto de corte de la recta perpendicular (paso 1) con la bisectriz (paso 2) es el centro (O) de la circunferencia solución.
  4. Desde el centro O, trazar una perpendicular a la segunda recta para encontrar el segundo punto de tangencia (T').
  5. Con centro en O y radio OT (o OT'), trazar la circunferencia tangente.

3.3 Circunferencias Tangentes a Dos Rectas que se Cortan Dado el Radio de la Circunferencia

  1. Trazar la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas que se cortan.
  2. Trazar una recta paralela a una de las rectas dadas, a una distancia igual al radio (R) de la circunferencia buscada.
  3. El punto de corte de la bisectriz (paso 1) con la recta paralela (paso 2) es el centro (O) de la circunferencia solución.
  4. Con centro en O y radio R, trazar la circunferencia tangente.

3.4 Circunferencias Tangentes a Tres Rectas que se Cortan

  1. Trazar las bisectrices de los ángulos formados por las tres rectas que se cortan.
  2. El punto de corte de las bisectrices es el centro (O) de la circunferencia tangente (incentro).
  3. Desde O, trazar una perpendicular a cualquiera de las rectas para encontrar el radio (R).
  4. Con centro en O y radio R, trazar la circunferencia tangente.

4. Circunferencias Tangentes a Circunferencias

Este apartado describe cómo construir circunferencias que son tangentes a otras circunferencias, bajo diferentes condiciones.

4.1 Circunferencia Tangente a una Dada, con Punto de Tangencia y Radio Conocidos

  1. Unir el centro (O) de la circunferencia dada con el punto de tangencia (T). Prolongar esta línea.
  2. Sobre esta línea prolongada, a partir de T, marcar el radio (R) dado en ambas direcciones. Estos puntos son posibles centros de la circunferencia solución.
  3. Con centro en cada uno de estos puntos y radio R, trazar las circunferencias tangentes.

4.2 Circunferencia Tangente a una Dada, con Radio Conocido y que Pase por un Punto Exterior

  1. Con centro en el punto exterior (P), trazar una circunferencia auxiliar con el radio (R) dado.
  2. Con centro en el centro (O) de la circunferencia dada, trazar dos circunferencias auxiliares: una con radio (Rdada + R) para tangencia exterior, y otra con radio (Rdada - R) para tangencia interior.
  3. Los puntos de intersección de la circunferencia auxiliar del paso 1 con las circunferencias auxiliares del paso 2 son los centros (Osolución) de las circunferencias buscadas.
  4. Con centro en cada Osolución y radio R, trazar las circunferencias tangentes.

4.3 Circunferencia Tangente a una Dada, con Punto de Tangencia en la Circunferencia y que Pase por un Punto Exterior

  1. Unir el centro (O) de la circunferencia dada con el punto de tangencia (T).
  2. Unir el punto de tangencia (T) con el punto exterior (P) y trazar la mediatriz de este segmento.
  3. El punto de corte de la línea OT (prolongada) con la mediatriz del segmento TP es el centro (Osolución) de la circunferencia buscada.
  4. Con centro en Osolución y radio OsoluciónT (o OsoluciónP), trazar la circunferencia tangente.

5. Circunferencias Tangentes a Dos Circunferencias

Este apartado se centra en la construcción de circunferencias que son tangentes a dos circunferencias dadas.

5.1 Circunferencias Tangentes a Dos Circunferencias Dadas, con Radio Conocido

  1. Para cada una de las dos circunferencias dadas (C1 y C2), trazar circunferencias auxiliares concéntricas:
    • Para tangencia exterior: Radio = Rdada + Rsolución.
    • Para tangencia interior: Radio = Rdada - Rsolución.
  2. Los puntos de intersección de estas circunferencias auxiliares (considerando las combinaciones de tangencia exterior/interior) son los centros (Osolución) de las circunferencias buscadas.
  3. Con centro en cada Osolución y el radio (Rsolución) dado, trazar las circunferencias tangentes.

5.2 Circunferencias Tangentes Interiores a Dos Circunferencias Dadas, con Radio Conocido

  1. Con centro en el centro (O1) de la primera circunferencia, trazar una circunferencia auxiliar con radio igual a la diferencia de los radios (R1 - Rsolución).
  2. Con centro en el centro (O2) de la segunda circunferencia, trazar otra circunferencia auxiliar con radio igual a la diferencia de los radios (R2 - Rsolución).
  3. Los puntos de intersección de estas dos circunferencias auxiliares son los centros (Osolución) de las circunferencias buscadas.
  4. Con centro en cada Osolución y el radio (Rsolución) dado, trazar las circunferencias tangentes.

5.3 Circunferencias Tangentes a Dos Circunferencias Dadas, Dado el Punto de Tangencia en una de Ellas

  1. Unir el centro (O1) de la primera circunferencia con el punto de tangencia (T). Prolongar esta línea. El centro de la circunferencia solución estará en esta línea.
  2. Trazar una circunferencia auxiliar con centro en T y radio arbitrario.
  3. Trazar el eje radical de la segunda circunferencia (C2) y la circunferencia auxiliar (paso 2).
  4. El punto de intersección de la línea O1T (prolongada) y el eje radical es el centro (Osolución) de la circunferencia buscada.
  5. Con centro en Osolución y radio OsoluciónT, trazar la circunferencia tangente.

6. Circunferencias Tangentes a Recta y a Circunferencia

Este apartado describe cómo construir circunferencias que son tangentes simultáneamente a una recta y a una circunferencia.

6.1 Circunferencia Tangente a Recta y Circunferencia, Dado el Punto de Tangencia en la Circunferencia

  1. Unir el centro (O) de la circunferencia dada con el punto de tangencia (T) y prolongar esta línea.
  2. Trazar una recta perpendicular a la línea OT en el punto T (esta es la tangente a la circunferencia en T).
  3. Trazar la bisectriz del ángulo formado por la recta dada y la recta perpendicular (tangente) del paso 2.
  4. El punto de corte de la bisectriz (paso 3) con la línea OT (prolongada) es el centro (Osolución) de la circunferencia buscada.
  5. Con centro en Osolución y radio OsoluciónT, trazar la circunferencia tangente.

6.2 Circunferencia Tangente a Recta y Circunferencia, Dado el Punto de Tangencia en la Recta

  1. Trazar una recta perpendicular a la recta dada en el punto de tangencia (T).
  2. Desde el punto T, marcar un punto auxiliar sobre la recta perpendicular (paso 1) a una distancia igual al radio (R) de la circunferencia dada.
  3. Unir el centro (O) de la circunferencia dada con el punto auxiliar marcado en el paso 2. Trazar la mediatriz de este segmento.
  4. El punto de corte de la mediatriz (paso 3) con la recta perpendicular (paso 1) es el centro (Osolución) de la circunferencia buscada.
  5. Con centro en Osolución y radio OsoluciónT, trazar la circunferencia tangente.

6.3 Circunferencia Tangente a Recta y Circunferencia, Dado el Radio de la Circunferencia Solución

  1. Trazar una recta paralela a la recta dada, a una distancia igual al radio (Rsolución) de la circunferencia buscada.
  2. Con centro en el centro (O) de la circunferencia dada, trazar una circunferencia auxiliar con radio igual a la suma de los radios (Rdada + Rsolución) para tangencia exterior, o la diferencia (Rdada - Rsolución) para tangencia interior.
  3. Los puntos de intersección de la recta paralela (paso 1) con la circunferencia auxiliar (paso 2) son los centros (Osolución) de las circunferencias buscadas.
  4. Con centro en cada Osolución y el radio (Rsolución) dado, trazar las circunferencias tangentes. Los puntos de tangencia en la recta dada se encuentran trazando perpendiculares desde los centros a la recta.
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