Construcciones geométricas: centros de homotecia y circunferencias tangentes

Centros de homotecia entre las circunferencias C y C'

Objetivo: construir los posibles centros de homotecia entre dos circunferencias C y C'.

Trazo un radio OC y otro O C' paralelos. Donde la recta que une los centros C y C' corta a esas direcciones se obtiene A (centro de homotecia directa). Si trazo otra configuración análoga, obtengo A' (centro de homotecia inversa).

De forma equivalente, uniendo los centros de ambas circunferencias y trazando rectas homólogas (paralelas a radios correspondientes) se determinan ambos centros de homotecia: el centro de la homotecia directa A y el de la homotecia inversa A'.

Circunferencias tangentes a una recta r y a una circunferencia C, dado el punto de tangencia T en la circunferencia

Datos: recta r, circunferencia C y punto de tangencia T sobre C.

1. Unir el punto de tangencia T con el centro O de la circunferencia dada.
2. Trazar el eje radical (recta perpendicular a r) que pasa por T; donde corte a la recta r obtenemos el punto potencial P.
3. Con centro en P y radio PT determinamos los puntos de tangencia t1 y t2 sobre r.

Estos puntos t1 y t2 son los puntos de tangencia de las soluciones buscadas, y permiten definir las circunferencias solución.

Circunferencias tangentes a una recta r y a una circunferencia C, dado el punto de tangencia T en la recta

Datos: recta r, circunferencia C y punto de tangencia T sobre la recta r.

1. Trazar la recta s perpendicular a r por el punto T.
2. Utilizar una circunferencia auxiliar C' que corte a la circunferencia dada y sea tangente a la recta r en el punto T. En esta construcción la recta r será el eje radical entre la circunferencia auxiliar y las circunferencias solución.
3. Trazar el eje radical j entre la circunferencia dada C y la auxiliar C'; donde j corte a r obtenemos el punto potencial P.
4. Con centro en P y radio PT determinamos los puntos de tangencia t1 y t2 sobre r.
5. Unir los puntos de tangencia con el centro O de la circunferencia dada y determinar, a partir de esas conexiones, los centros de las circunferencias solución.

Circunferencias tangentes a dos circunferencias C y C', dado el punto de tangencia en una de ellas

Datos: dos circunferencias C y C' y un punto de tangencia T en una de ellas (por ejemplo en C).

1. Dibujar una recta s que una el centro de C con el punto de tangencia T.
2. Trazar una circunferencia auxiliar C1 tangente en T a C; elegirla de forma que corte convenientemente a C'.
3. Dibujar los dos ejes radicales: uno tangente por T y otro j que sea secante entre C' y C1; obteniendo así el punto potencial P.
4. Calcular la potencia desde P trazando la circunferencia de centro O y radio PT; con ella determino los puntos t1 y t2 de tangencia.
5. Unir estos puntos con el centro de C1; obtenemos así los centros o2 y o3 de las circunferencias solución.

Circunferencias tangentes a dos rectas r y s que se cortan y deben pasar por un punto P dado

Datos: rectas r y s que se cortan y un punto P por el que deben pasar las circunferencias tangentes a r y s.

1. Determinar la bisectriz del ángulo que forman r y s.
2. Trazar una circunferencia auxiliar C' con centro en la bisectriz y que pase por P.
3. Dibujar el eje radical j entre la auxiliar C' y la solución; este eje será perpendicular a la recta que une el centro de C' con P.
4. El punto de corte Q de j con la recta s es un punto potencial respecto de la circunferencia auxiliar.
5. Determinar la potencia desde Q sobre la circunferencia auxiliar y, a partir de ello, calcular los puntos de tangencia t1 y t2.

Circunferencias tangentes a una recta r y que pasen por los puntos A y B

Datos: recta r y puntos A y B por los que debe pasar la circunferencia tangente a r.

1. Trazar la mediatriz m de los dos puntos A y B.
2. Utilizar una circunferencia auxiliar C' cuyo centro esté sobre m y que pase por A y B.
3. Trazar el eje radical j que pasa por A y B; donde j corte a r obtenemos el punto potencial P.
4. Determinar la potencia desde P respecto de la circunferencia auxiliar C' trazando las rectas tangentes.
5. Con centro en P y radio PT determinamos los puntos de tangencia t1 y t2 sobre r.

Circunferencias tangentes a una circunferencia C y que pasen por dos puntos A y B

Datos: circunferencia C y puntos A y B por los que debe pasar la circunferencia tangente a C.

1. Trazar la mediatriz m de los puntos A y B.
2. Utilizar el eje radical r que pasa por A y B; también trazar el eje radical j entre la circunferencia dada C y una circunferencia auxiliar C' que pase por A y B. Ambos ejes se cortan en el punto P.
3. Determinar la potencia desde P respecto a la circunferencia C, trazando las rectas tangentes y obteniendo los puntos de tangencia t1 y t2.
4. Unir estos puntos con el centro O de la circunferencia dada y, a partir de esas uniones, determinar los centros de las circunferencias solución.

Centros notables en triángulos

• Alturas — Ortocentro.
• Medianas — Baricentro.
• Mediatrices — Circuncentro.
• Bisectrices — Incentro.

Notas finales

Las descripciones anteriores recogen los procedimientos esenciales para construir centros de homotecia y circunferencias tangentes en distintas condiciones: punto de tangencia sobre la circunferencia, sobre la recta, tangencia a dos rectas, o paso por puntos dados. En cada caso se emplean herramientas clásicas: ejes radicales, potencias, circunferencias auxiliares, mediatrices y bisectrices, y la relación entre centros y puntos de tangencia para determinar los centros solución (A, A', o2, o3, etc.).