Construcción y Propiedades de la Elipse: Métodos y Procedimientos

Elipse conocida un eje y un punto

Si conocemos el eje AB y el punto P, se traza con centro en O la circunferencia de diámetro AB. Por P se traza una perpendicular a AB que corta a la circunferencia en E. Se traza el segmento EO. Se traza una paralela a AB por P, que corta a EO en F. La distancia OF es el semieje menor. Con centro en O y radio OF, obtenemos C y D sobre una perpendicular a AB por O. En caso de que el eje conocido sea el CD, el trazado es similar, salvo que primero se obtiene el punto F y luego el E.

Ejes principales a partir de dos diámetros conjugados

Sean A’B’ y C’D’ dos diámetros conjugados. Por O se traza una perpendicular a A’B’. Se traza un arco de centro O y radio OA’ que corta a dicha perpendicular en 1. Unimos 1 y C’ y, por su punto medio (2), se traza una circunferencia de radio 2C’. Se traza un arco con centro en 2 y radio 2O que corta en los puntos 3 y 4 a la prolongación del segmento 1C’. Las direcciones de los segmentos O3 y O4 son las de los ejes principales. Se traza una recta que pase por O y 2, cortando a la circunferencia de diámetro 1C’ en los puntos 5 y 6. Las distancias O5 y O6 son las magnitudes de los semiejes. Trazando con centro en O arcos de radio O5 y O6, hallamos sobre las direcciones de los ejes los puntos A, B, C y D, extremos de los ejes principales.

Elipse por haces proyectivos

Se conocen dos diámetros conjugados A’B’ y C’D’. Se construye el romboide O’A’E’C’ mediante paralelas a los ejes conjugados por A’ y C’. Se dividen los segmentos O’A’ y A’E’ en el mismo número de partes iguales. Las intersecciones de los rayos C’1, C’2, C’3, C’4 con los rayos D’1, D’2, D’3, D’4 respectivamente son puntos de la elipse. Se hace lo mismo para los otros tres romboides.

Tangente a una elipse por un punto de la misma

Primer procedimiento

Se conocen o se hallan los focos de la elipse. Por el punto P dado se trazan los radios vectores (rectas que unen P con los focos). La bisectriz del ángulo exterior de los radios vectores es la tangente a la elipse en P. La perpendicular a la tangente es la normal. Nota: si no se conocen los focos, pueden hallarse a partir de los ejes real e imaginario, trazando un arco de radio OA con centro en C hasta que corte a AB.

Segundo procedimiento: Se conoce el eje mayor

Se traza la circunferencia principal. Por el punto P dado se traza una perpendicular al eje mayor hasta cortar a la circunferencia principal en M. La recta tangente a la circunferencia principal por el punto M corta a la prolongación del eje mayor en el punto N. La recta que une N y P es la tangente pedida. Nota: este procedimiento se fundamenta en que la elipse y la circunferencia principal son afines, con eje de afinidad el eje mayor. Así, los puntos M y P son afines.

Tangentes a una elipse paralelas a una dirección dada

Primer procedimiento

Se conocen el eje mayor AB, los focos y la recta R en la dirección dada. Se traza la circunferencia principal de centro O y diámetro AB. Se traza una perpendicular a R por uno de los focos (F2), obteniendo sobre la circunferencia principal los puntos de corte 1 y 2. Las paralelas, m y n, a R por estos puntos son tangentes a la elipse. Para hallar los puntos de tangencia, se trazan los puntos simétricos de un foco con respecto a las rectas tangentes (F’1 y F’’1) y se unen con el otro foco (F2). Los puntos de corte, T1 y T2, con las rectas tangentes son los puntos de tangencia.

Las circunferencias focales y las tangentes

Las circunferencias focales de una elipse son las que tienen por centros los focos de la elipse y su radio es 2a, es decir, la magnitud del eje mayor. Propiedad: 2a, los puntos simétricos de un foco de la elipse respecto a cualquier recta tangente a la misma se encuentran situados en la circunferencia focal del otro foco.

Tangente a una elipse por un punto exterior

Segundo procedimiento

Se conocen los focos de la elipse. Se traza la circunferencia focal del foco F1 (o un tramo adecuado de la misma). Se traza una circunferencia de centro P y radio PF2, que corta a la anterior en M y N. Las mediatrices de los segmentos F2M y F2N son las tangentes a la elipse por el punto exterior P. Para hallar los puntos de tangencia, se unen los puntos M y N con el foco F1, obteniéndose los puntos de tangencia T y T’.