Conjuntos y vectores: definiciones, propiedades y tipos fundamentales

Conjuntos

Conjunto: es la agrupación de elementos con características comunes que permiten considerarlos como un todo.

Elementos del conjunto: son cada una de las partes que forman un conjunto.

Determinación del conjunto

Por extensión: cuando se nombran cada uno de los elementos que forman un conjunto.

Por comprensión: cuando se describe el conjunto mediante una propiedad o regla que caracteriza a sus elementos.

Operaciones entre conjuntos

Unión: es la agrupación de los elementos de dos o más conjuntos; incluye tanto las características comunes como las no comunes entre los elementos que los conforman.

Intersección: es el conjunto formado por los elementos comunes a dos o más conjuntos dados.

Vectores

Vectores: es un segmento de recta orientado mediante la punta de una flecha.

Partes de un vector

Origen: es el punto donde comienza a desarrollarse el vector. También se llama punto de aplicación.

Extremo: es el punto donde termina el vector.

Módulo: es la separación que existe entre el origen y el extremo; representa la magnitud del vector.

Dirección: es la inclinación que tiene la recta por donde pasa el vector; puede ser horizontal, vertical o inclinada.

Tipos de dirección

• Horizontal: línea paralela al nivel del agua en reposo.
• Vertical: línea que describen los objetos al caer; es perpendicular a la horizontal.
• Inclinada: línea que no es ni horizontal ni vertical.

Sentido: es la orientación que indica hacia dónde va dirigido el vector; puede ser hacia arriba, abajo, derecha, izquierda, etc.

Tipos y propiedades de vectores

Vectores equipolentes: dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

Vector libre: el conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir, los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vectores fijos: un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido u origen.

Vector unitario: los vectores unitarios tienen por módulo la unidad.

Vector libre: es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Vector nulo: es el elemento neutro de su espacio vectorial para la operación interna de la suma de vectores; su módulo es cero y no tiene dirección ni sentido definidos de forma habitual.

Funciones entre conjuntos

Función: es una relación en la que a cada uno de los elementos del conjunto de partida (dominio) le corresponde solamente una imagen en el conjunto de llegada (codominio).

Tipos de funciones

Función inyectiva: cuando a elementos distintos del conjunto de partida les corresponden imágenes distintas en el conjunto de llegada.

Función sobreyectiva: cuando cada elemento del conjunto de llegada es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida; es decir, todos los elementos del codominio están cubiertos por la función.

Función biyectiva: cuando la función es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva; entonces existe una correspondencia uno a uno entre dominio y codominio.