Conjuntos Numéricos Fundamentales y Propiedades Matemáticas

Introducción a los Conjuntos Numéricos

Este documento explora los conjuntos numéricos básicos y algunas de sus propiedades fundamentales.

Números Naturales (N)

El conjunto de números naturales son los números que se utilizan para contar. Se representan con la letra "N".

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Números Enteros (Z)

Se representan con la letra "Z" y consisten en los enteros negativos, el número cero y los enteros positivos.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Z = Z⁻ ∪ {0} ∪ Z⁺

Números Racionales (Q)

Se representan con la letra "Q" y consisten en los números que se escriben de la forma "a sobre b", donde a y b son números enteros, siempre y cuando b sea un número distinto de cero.

Fracción Simplificada

Es la fracción que está escrita en su mínima expresión, es decir, que no hay un divisor común entre el numerador y el denominador. A este tipo de fracción se le llama "irreducible".

Fracciones a Decimales

Ejemplos:

• Decimal finito: 1.25
• Decimal infinito: 2.33...

Clasificación de los Números Decimales

Los números decimales se clasifican en:

1. Decimales Finitos: Son aquellos números que tienen fin.
2. Decimales Exactos: Son aquellos cuya parte decimal tiene un número finito de cifras decimales.
3. Decimales Infinitos: Son aquellos números decimales con infinitas cifras.
4. Decimales Periódicos: Son aquellos decimales cuya parte decimal tiene un número infinito de cifras que se repiten siguiendo un patrón llamado período.

Tipos de Decimales Periódicos:

1. Periódico Puro: Cuando el período comienza inmediatamente después del punto decimal.
2. Periódico Mixto: Cuando el período comienza después del anteperíodo (cifras no periódicas entre el punto decimal y el período).

Números Irracionales (I)

Son los números que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Como no se pueden expresar como una fracción, se representan con la letra "I".

Los números racionales se representan con "Q".

Números Reales (R)

El conjunto de números reales es la unión de los números racionales (Q) e irracionales (I). Se representa con la letra "R" y corresponde a todos los puntos en la recta numérica.

R = Q ∪ I

Propiedades de los Números Reales

A continuación, se listan algunas propiedades fundamentales de la adición y el producto en los números reales.

Abreviaturas: Pd = Propiedad, A = Adición, P = Producto.

• Pd: Conmutativa
  • A: a + b = b + a
  • P: a × b = b × a
• Pd: Asociativa
  • A: (a + b) + c = a + (b + c)
  • P: (a × b) × c = a × (b × c)
• Pd: Elemento Neutro
  • A: a + 0 = 0 + a = a
  • P: a × 1 = 1 × a = a
• Pd: Elemento Simétrico (Inverso)
  • A: a + (-a) = (-a) + a = 0
  • P: a × a⁻¹ = a⁻¹ × a = 1 (para a ≠ 0)
• Pd: Distributiva
  • A: a × (b + c) = a × b + a × c

Reglas para Operaciones con Números Enteros

Nota:

• Números con igual signo: Se suman sus valores absolutos y al resultado se le escribe el signo común.
• Números con distintos signos: Se restan sus valores absolutos y al resultado se le escribe el signo del número con mayor valor absoluto.

Orden de Operaciones Combinadas

Orden a seguir para realizar operaciones combinadas (PEMDAS / PAPOMUDAS):

1. Realizamos las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2. Calculamos las potencias y raíces.
3. Efectuamos los productos y cocientes (de izquierda a derecha).
4. Realizamos las sumas y restas (de izquierda a derecha).

Los números racionales son los que se pueden escribir en forma de fracción.

Nota sobre la Recta Numérica: <-- Oeste (-) | (+) Este -->

Ley de Signos

Multiplicación y División:

• + × + = +
• - × - = +
• + × - = -
• - × + = -

• + ÷ + = +
• - ÷ - = +
• - ÷ + = -
• + ÷ - = -

Suma y Resta:

(Ver reglas en la sección "Reglas para Operaciones con Números Enteros")