Conjuntos No Medibles, Límites de Funciones y Teoremas Fundamentales de Medida

Conjunto de Vitali: Un Conjunto No Medible

Sean x, y números reales. Definimos la relación xRy si x - y es un número racional. Esta es una relación de equivalencia.

Consideramos el conjunto E tomando exactamente un elemento de cada clase de equivalencia resultante en el intervalo [0, 1]. Demostraremos que E no es medible según Lebesgue.

Sea (r_k)_k∈ℕ una enumeración de los números racionales en [-1, 1]. Consideramos, para cada k natural, los conjuntos E_k = E + r_k = {e + r_k | e ∈ E}.

Propiedades de E_k

1. Disjuntos: Los conjuntos E_k son disjuntos dos a dos. Si existiera z ∈ E_k ∩ E_j con k ≠ j, entonces z = e₁ + r_k = e₂ + r_j para algunos e₁, e₂ ∈ E. Esto implicaría e₁ - e₂ = r_j - r_k, que es racional. Como e₁ y e₂ pertenecen a E, deben ser el mismo representante de su clase (a menos que e₁ = e₂), lo que contradice la construcción de E si e₁ ≠ e₂. Si e₁ = e₂, entonces r_k = r_j, lo que implica k = j, contradiciendo k ≠ j.
2. Contenciones: Se cumple que [0, 1] ⊆ ∪_kE_k ⊆ [-1, 2].
   • Inclusión [0, 1] ⊆ ∪_kE_k: Si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de la clase de equivalencia de x, entonces x - y = r_k para algún r_k ∈ [-1, 1] (ya que x ∈ [0, 1] e y ∈ [0, 1]). Por lo tanto, x = y + r_k ∈ E_k.
   • Inclusión ∪_kE_k ⊆ [-1, 2]: Si z ∈ ∪_kE_k, entonces z = e + r_k para algún e ∈ E ⊆ [0, 1] y algún r_k ∈ [-1, 1]. Luego -1 = 0 + (-1) ≤ e + r_k ≤ 1 + 1 = 2, por lo que z ∈ [-1, 2].

Demostración de la no medibilidad

Supongamos, por contradicción, que E es medible según Lebesgue. Entonces, por la invarianza de la medida de Lebesgue por traslaciones, todos los conjuntos E_k = E + r_k son medibles y tienen la misma medida: m(E_k) = m(E).

Dado que los E_k son disjuntos y su unión está contenida en [-1, 2], por la σ-aditividad de la medida:

m(∪_kE_k) = ∑_km(E_k) = ∑_km(E) ≤ m([-1, 2]) = 3.

Por otro lado, como [0, 1] ⊆ ∪_kE_k, tenemos:

1 = m([0, 1]) ≤ m(∪_kE_k) = ∑_km(E).

Ahora consideramos las posibles opciones para m(E):

• Si m(E) = 0, entonces ∑_km(E) = 0, lo cual contradice 1 ≤ ∑_km(E).
• Si m(E) > 0, entonces ∑_km(E) = ∞ (suma infinita de un número positivo), lo cual contradice ∑_km(E) ≤ 3.

Ambos casos llevan a una contradicción. Por lo tanto, la suposición inicial de que E es medible debe ser falsa. E no es medible según Lebesgue. Esto también demuestra que la medida exterior de Lebesgue m* no es σ-aditiva en el conjunto potencia P(ℝ).

Todo Conjunto Abierto en ℝ es Unión Disjunta de Intervalos Abiertos

Sea G un conjunto abierto en ℝ. Podemos expresarlo como una unión numerable de intervalos abiertos disjuntos.

Una forma de construirlo es usando intervalos diádicos. Sea I_a,k el intervalo diádico (a/2^k, (a+1)/2^k) para a ∈ ℤ, k ∈ ℕ₀.

Definimos los conjuntos D_k recursivamente:

• D₀ = {a ∈ ℤ | cierre(I_a,0) ⊆ G}
• Para k > 0, D_k = {a ∈ &Zopf; | cierre(I_a,k) ⊆ G y I_a,k ∩ I_b,j = ∅ para todo b ∈ D_j y todo j < k}

Entonces, se puede demostrar que G = ∪_k=0^∞ ∪_a∈Dk I_a,k, y esta unión es disjunta por construcción.

Esbozo de la demostración

Dado x ∈ G, como G es abierto, la distancia d(x, G^c) es positiva. Elegimos k tal que el diámetro del intervalo diádico de nivel k (1/2^k) sea menor que d(x, G^c). Existe un único entero a tal que x ∈ I_a,k. Por la elección de k, se cumple que cierre(I_a,k) ⊆ G.

Ahora, consideramos dos casos:

1. Si a ∈ D_k, entonces x pertenece a la unión ∪_k,a I_a,k.
2. Si a ∉ D_k, entonces debe existir algún j < k y algún b ∈ D_j tal que I_a,k ∩ I_b,j ≠ ∅. Dado que los intervalos diádicos están anidados o son disjuntos, esto implica que I_a,k ⊆ I_b,j. Por lo tanto, x ∈ I_b,j, y x también pertenece a la unión.

Esto muestra que todo x en G está en la unión. La inclusión opuesta es clara por la condición cierre(I_a,k) ⊆ G.

El Límite Puntual de Funciones Medibles es Medible

Sea (f_k) una sucesión de funciones medibles, f_k: X → [-∞, +∞] (donde (X, M) es un espacio medible). Sea A el conjunto de puntos x ∈ X tales que el límite puntual lim_k→∞f_k(x) existe (puede ser finito, +∞ o -∞).

Medibilidad del conjunto de convergencia A

El conjunto A es medible. A es la unión de los conjuntos donde el límite es finito (la sucesión es de Cauchy en &Ropf;) y donde el límite es infinito:

A = {x | (f_k(x)) es de Cauchy} ∪ {x | lim f_k(x) = +∞} ∪ {x | lim f_k(x) = -∞}

Cada uno de estos conjuntos es medible, ya que pueden expresarse mediante operaciones numerables sobre conjuntos medibles:

• {x | lim f_k(x) = +∞} = ∩_m=1^∞ ∪_n=1^∞ ∩_k≥n {x | f_k(x) ≥ m}
• {x | lim f_k(x) = -∞} = ∩_m=1^∞ ∪_n=1^∞ ∩_k≥n {x | f_k(x) ≤ -m}
• {x | (f_k(x)) es de Cauchy} = ∩_m=1^∞ ∪_n=1^∞ ∩_k,j≥n {x | |f_k(x) - f_j(x)| < 1/m}

Como las funciones f_k son medibles, los conjuntos {x | ...} en las expresiones anteriores son medibles. Las uniones e intersecciones numerables de conjuntos medibles son medibles, por lo que A es medible.

Medibilidad de la función límite

La función límite puntual f(x) = lim_k→∞ f_k(x) está definida en A. Para demostrar que f es medible en A (considerando en A la σ-álgebra inducida M_A = {A ∩ S | S ∈ M}), debemos mostrar que para todo a ∈ &Ropf;, el conjunto {x ∈ A | f(x) ≤ a} es medible (pertenece a M_A).

Se puede demostrar usando el límite superior:

{x ∈ A | f(x) ≤ a} = {x ∈ A | lim sup_k→∞ f_k(x) ≤ a} = A ∩ (∩_m=1^∞ ∪_n=1^∞ ∩_k≥n {x | f_k(x) < a + 1/m})

Como A es medible y el conjunto entre paréntesis también lo es (por ser operaciones numerables sobre conjuntos medibles), la intersección pertenece a M, y por definición, a M_A. Por lo tanto, la función límite f es medible en A.

Teorema de la Convergencia Monótona (TCM)

Sea (X, M, μ) un espacio de medida. Sea (f_k) una sucesión creciente de funciones medibles no negativas (0 ≤ f_k ≤ f_k+1) que converge puntualmente a una función f (f(x) = lim_k→∞ f_k(x)).

El Teorema de la Convergencia Monótona (TCM) establece que f es medible y:

∫_X f dμ = lim_k→∞ ∫_X f_k dμ

Esbozo de la demostración

La medibilidad de f se sigue del resultado anterior. Como f_k ≤ f, tenemos ∫_X f_k dμ ≤ ∫_X f dμ, y tomando límite, lim sup_k→∞ ∫_X f_k dμ ≤ ∫_X f dμ.

Para la otra desigualdad (lim inf_k→∞ ∫_X f_k dμ ≥ ∫_X f dμ), es suficiente probar que para toda función simple medible φ tal que 0 ≤ φ ≤ f, y para todo c ∈ (0, 1), se cumple: c ∫_X φ dμ ≤ lim_k→∞ ∫_X f_k dμ.

Consideramos los conjuntos A_k = {x ∈ X | f_k(x) ≥ cφ(x)}. Como (f_k) es creciente, la sucesión de conjuntos (A_k) es creciente (A_k ⊆ A_k+1). Además, ∪_k=1^∞ A_k = X.

Demostración de que la unión es X: Dado x ∈ X. Si f(x) = 0, entonces φ(x) = 0, y f_k(x) ≥ 0 = cφ(x) para todo k, por lo que x ∈ A_k para todo k. Si f(x) > 0, entonces como c < 1 y φ(x) ≤ f(x), tenemos cφ(x) < f(x). Puesto que f_k(x) → f(x), existe un k₀ natural tal que para todo k ≥ k₀, f_k(x) > cφ(x). Por lo tanto, x ∈ A_k para k ≥ k₀. En ambos casos, x pertenece a la unión.

Ahora, para cada k, tenemos:

∫_X f_k dμ ≥ ∫_Ak f_k dμ ≥ ∫_Ak cφ dμ = c ∫_Ak φ dμ

Tomando el límite cuando k → ∞, y usando la continuidad de la integral sobre conjuntos crecientes (que es una consecuencia del propio TCM para funciones características, o se puede probar aparte):

lim inf_k→∞ ∫_X f_k dμ ≥ lim_k→∞ (c ∫_Ak φ dμ) = c ∫_∪Ak φ dμ = c ∫_X φ dμ

Como esto vale para todo c ∈ (0, 1), podemos tomar c → 1^- para obtener:

lim inf_k→∞ ∫_X f_k dμ ≥ ∫_X φ dμ

Finalmente, tomando el supremo sobre todas las funciones simples medibles φ tales que 0 ≤ φ ≤ f, obtenemos:

lim inf_k→∞ ∫_X f_k dμ ≥ ∫_X f dμ

Combinando ambas desigualdades (lim sup y lim inf), se concluye el teorema.

Lema de Fatou

Sea (X, M, μ) un espacio de medida. Sea (f_k) una sucesión de funciones medibles no negativas (f_k ≥ 0).

Entonces, el Lema de Fatou establece que:

∫_X (lim inf_k→∞ f_k) dμ ≤ lim inf_k→∞ ∫_X f_k dμ

Demostración

Definimos la sucesión de funciones g_k(x) = inf_l≥k f_l(x).

1. Cada g_k es medible (ínfimo numerable de funciones medibles no negativas).
2. La sucesión (g_k) es creciente: g_k(x) = inf{f_k(x), f_k+1(x), ...} ≤ inf{f_k+1(x), f_k+2(x), ...} = g_k+1(x).
3. La sucesión (g_k) es no negativa, ya que f_k ≥ 0.
4. Por definición de límite inferior, lim_k→∞ g_k(x) = lim inf_k→∞ f_k(x).

Aplicando el TCM a la sucesión creciente y no negativa (g_k), tenemos:

∫_X (lim_k→∞ g_k) dμ = lim_k→∞ ∫_X g_k dμ

Sustituyendo el límite de g_k:

∫_X (lim inf_k→∞ f_k) dμ = lim_k→∞ ∫_X g_k dμ

Ahora, como g_k(x) = inf_l≥k f_l(x) ≤ f_k(x) para todo x, tenemos que ∫_X g_k dμ ≤ ∫_X f_k dμ para todo k.

Tomando el límite inferior en ambos lados de la desigualdad:

lim inf_k→∞ ∫_X g_k dμ ≤ lim inf_k→∞ ∫_X f_k dμ

Como el límite de ∫_X g_k dμ existe (por TCM), es igual a su límite inferior:

lim_k→∞ ∫_X g_k dμ = lim inf_k→∞ ∫_X g_k dμ ≤ lim inf_k→∞ ∫_X f_k dμ

Combinando los resultados, obtenemos la desigualdad deseada:

∫_X (lim inf_k→∞ f_k) dμ ≤ lim inf_k→∞ ∫_X f_k dμ

Contraejemplo para la Igualdad en el Lema de Fatou

La desigualdad en el Lema de Fatou puede ser estricta. Consideremos el espacio de medida (&Ropf;, B(&Ropf;), m), donde m es la medida de Lebesgue.

Sea la sucesión de funciones f_k: &Ropf; → [0, ∞) definida por f_k(x) = χ_{(k, k+1)}(x) (la función característica del intervalo (k, k+1)).

Cada f_k es medible y no negativa.

Calculamos el límite inferior puntual: Para cualquier x ∈ &Ropf;, f_k(x) = 0 para k suficientemente grande (específicamente, para k > x). Por lo tanto, la sucesión converge puntualmente a 0: lim_k→∞ f_k(x) = 0 para todo x. Esto implica que lim inf_k→∞ f_k(x) = 0 para todo x.

Ahora calculamos las integrales:

• ∫_&Ropf; (lim inf_k→∞ f_k) dm = ∫_&Ropf; 0 dm = 0.
• ∫_&Ropf; f_k dm = ∫_&Ropf; χ_{(k, k+1)} dm = m((k, k+1)) = 1 para todo k.

Finalmente, calculamos el límite inferior de las integrales:

• lim inf_k→∞ ∫_&Ropf; f_k dm = lim inf_k→∞ 1 = 1.

En este caso, obtenemos:

0 = ∫_&Ropf; (lim inf f_k) dm < lim inf ∫_&Ropf; f_k dm = 1.

Esto muestra que la desigualdad en el Lema de Fatou puede ser estricta.