Conceptos y Resolución de Problemas Geométricos y Algebraicos

Conceptos Clave sobre Rectas y sus Propiedades

Pertenencia de un Punto a una Recta

Para determinar si un punto P = (a, b) pertenece a una recta, se debe sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta. El valor 'a' se sustituye por x, y el valor 'b' por y. Si la igualdad se cumple, entonces el punto pertenece a la recta.

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales. La pendiente es el coeficiente que multiplica a x en la forma explícita de la ecuación de la recta: y = ax + b (donde 'a' representa la pendiente). Para verificar si una recta es paralela a otra, se debe despejar y en ambas ecuaciones y comparar sus pendientes.

Intersección de una Recta con los Ejes Coordenados

• Intersección con el eje X: Se establece y = 0 en la ecuación de la recta y se despeja x. El punto de intersección es (x, 0).
• Intersección con el eje Y: Se establece x = 0 en la ecuación de la recta y se despeja y. El punto de intersección es (0, y).

Intersección entre Dos Rectas

La intersección entre dos rectas, L y L', se determina resolviendo el sistema de ecuaciones formado por sus ecuaciones. Se despeja una variable en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra para encontrar los valores de x e y que satisfacen ambas ecuaciones.

Propiedades y Cálculos en Triángulos

Suma de Ángulos Interiores

La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a 180 grados. Esta propiedad es fundamental para resolver problemas que involucran ángulos desconocidos.

Relación entre Grados y Radianes

La relación entre grados y radianes se expresa mediante la siguiente proporción: a (en grados) / 360 = a (en radianes) / 2π.

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas básicas son:

• sen a = cateto opuesto / hipotenusa
• cos a = cateto adyacente / hipotenusa
• tg a = cateto opuesto / cateto adyacente

Al despejar un ángulo, se utilizan las funciones trigonométricas inversas (arcoseno, arcocoseno, arcotangente).

Cálculo del Área de un Triángulo y Aplicaciones

Cálculo del Área

El área de un triángulo se calcula mediante la fórmula: Área = (|AB| * |AC|) / 2, donde |AB| y |AC| representan las longitudes de dos lados del triángulo.

Ejemplo Práctico: Cálculo de Área con Intersección de Rectas

Para calcular el área de un triángulo definido por la intersección de rectas, se siguen estos pasos:

1. Definir las ecuaciones de las rectas:
   • Recta L1: Pasa por B = (0, 4) y (-1, 0). La ecuación es y = 4x + 4.
   • Recta L2: Perpendicular a L1 y pasa por C = (1, -2). La ecuación es y = -1/4x - 7/4.
2. Encontrar el punto de intersección A: Resolver el sistema de ecuaciones formado por L1 y L2. El punto de intersección es A = (-23/17, -24/17).
3. Calcular las longitudes de los lados:
   • |AB| = d(A, B) = √((0 - (-23/17))^2 + (4 - (-24/17))^2) = √(529/17)
   • |AC| = d(A, C) = d((-23/17, -24/17), (1, -2)) (Realizar el mismo cálculo que con |AB|)
4. Calcular el área: Área = 1/2 * |AB| * |AC|

Análisis de Parábolas y Ecuaciones Cuadráticas

Ecuación de una Parábola con Vértice Conocido

Si se conoce el vértice de una parábola, (h, k), su ecuación se puede expresar como: y = a(x - h)^2 + k. Para encontrar el valor de 'a', se utiliza un punto adicional por el que pase la parábola.

Ejemplo: Si el vértice es (5, -4) y la parábola pasa por (3, -2), la ecuación es: y = 1/2 (x - 5)^2 - 4.

Raíces Reales Distintas de una Ecuación Cuadrática

Para que la ecuación cuadrática y = mx^2 + 4x + 2 tenga dos raíces reales distintas, el discriminante (b^2-4ac) de la ecuación cuadrática debe ser mayor que cero. Se resuelve utilizando la fórmula de Bhaskara, asegurándose de que m ≠ 0.