Conceptos Matemáticos Esenciales: Truncamiento, Redondeo, Intervalos, Interés, Potencias, Raíces y Logaritmos

Conceptos Matemáticos Esenciales

Truncamiento y Redondeo

Truncamiento: Consiste en eliminar las cifras decimales a partir de un cierto orden. Se consideran las unidades (U), decenas (D), centenas (C), unidades de millar (UM), decenas de millar (DM), centenas de millar (CM), unidades de millón (UMM), etc., así como las décimas (d), centésimas (c), milésimas (m), etc. La unidad se encuentra a la izquierda de la coma decimal.

Ejemplo: Truncar a centésimas 13,2754 resulta en 13,27.

Redondeo: Se aproxima el número al valor más cercano en la posición decimal especificada. Si la cifra siguiente es 5 o mayor, se suma 1 a la cifra anterior; si es menor que 5, se deja igual.

Ejemplo: Redondear a décimas 57,423 resulta en 57,4.

Errores de Aproximación

Error Absoluto: Es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado. Se expresa como:

Error Absoluto = |Valor Real - Valor Aproximado|

Error Relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Se suele expresar en porcentaje.

Error Relativo = (Error Absoluto / Valor Real) * 100%

Cuanto menor sea el porcentaje del error relativo, mejor será la aproximación.

Intervalos

Un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos extremos, a y b.

• Intervalo Abierto: (a, b) = {x ∈ ℝ / a < x < b}. No incluye los extremos.
• Intervalo Cerrado: [a, b] = {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b}. Incluye los extremos.
• Intervalo Semiabierto (o Semicerrado): (a, b] = {x ∈ ℝ / a < x ≤ b} o [a, b) = {x ∈ ℝ / a ≤ x < b}.
• Intervalos Infinitos:
  • (a, +∞) = {x ∈ ℝ / x > a}
  • [a, +∞) = {x ∈ ℝ / x ≥ a}
  • (-∞, b) = {x ∈ ℝ / x < b}
  • (-∞, b] = {x ∈ ℝ / x ≤ b}

Unión de Intervalos: La unión de intervalos (U) representa todos los elementos que pertenecen a uno u otro intervalo, o a ambos. Por ejemplo:

(3, 9) U (7, 11) = {x ∈ ℝ / 3 < x < 9 o 7 < x < 11} = {x ∈ ℝ / 3 < x < 11} = (3, 11)

Interés Simple y Compuesto

Interés Simple: El interés (I) se calcula sobre el capital inicial (C) durante un período de tiempo (t) a una tasa de interés (r, expresada en tanto por ciento).

I = (C * r * t) / 100

Interés Compuesto: El capital final (Cf) se calcula sobre el capital inicial (Ci) más los intereses generados en cada período. La tasa de interés (r) se aplica sobre el capital acumulado.

Cf = Ci * (1 + r/100)^t

El beneficio obtenido es: I = Cf - Ci

Propiedades de las Potencias

Producto de potencias de la misma base:

aⁿ * a^m = a^n+m

Demostración: aⁿ * a^m = (a * a * ... * a) _{n veces} * (a * a * ... * a) _{m veces} = a^n+m

Cociente de potencias de la misma base:

aⁿ / a^m = a^n-m

Demostración: aⁿ / a^m = aⁿ * (1/a^m) = aⁿ * a^-m = a^n-m

Potencia de un producto:

(a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ

Demostración: (a * b)ⁿ = (a * b) * (a * b) * ... * (a * b) _{n veces} = aⁿ * bⁿ

Potencia de un cociente:

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Demostración: (a / b)ⁿ = (a / b) * (a / b) * ... * (a / b) _{n veces} = aⁿ / bⁿ

Potencia de una potencia:

(aⁿ)^m = a^n*m

Propiedades de las Raíces

Raíz de un producto:

ⁿ√(a * b) = ⁿ√a * ⁿ√b

Demostración: (a * b)^1/n = a^1/n * b^1/n = ⁿ√a * ⁿ√b

Raíz de un cociente:

ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b

Demostración: ⁿ√(a / b) = (a / b)^1/n = a^1/n / b^1/n = ⁿ√a / ⁿ√b

Raíz de una raíz:

^m√(ⁿ√a) = ^m*n√a

Demostración: ^m√(ⁿ√a) = (a^1/n)^1/m = a^(1/n)*(1/m) = a^1/(n*m) = ^n*m√a

Logaritmos

El logaritmo en base a de un número b (log_ab) es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener b.

Logaritmo de un producto:

log_a(b * c) = log_ab + log_ac

Demostración: Si log_ab = x -> a^x = b y log_ac = y -> a^y = c. Entonces, log_a(b*c) = log_a(a^x * a^y) = log_a(a^x+y) = x + y = log_ab + log_ac

Logaritmo de un cociente:

log_a(b / c) = log_ab - log_ac

Demostración: Si log_ab = x → a^x = b y log_ac = y → a^y = c; log_a(b/c) = log_a(a^x / a^y) = log_a(a^x-y) = x - y = log_ab - log_ac

Logaritmo de una potencia:

log_a(b^c) = c * log_ab

Demostración: Si log_ab = x → a^x = b. log_a(b^c) = log_a((a^x)^c) = log_a(a^x*c) = x * c = c * log_ab

Logaritmo de una raíz:

log_a(ⁿ√b) = (1/n) * log_ab

Demostración: log_a(ⁿ√b) = log_a(b^1/n) = (1/n)log_ab

Cambio de base:

log_ab = (log_cb) / (log_ca)

Demostración: log_ab = x → a^x = b. log_cb = log_c(a^x) = x * log_ca. Despejando x: x = (log_cb) / (log_ca). Por lo tanto, log_ab = (log_cb) / (log_ca)