Conceptos Fundamentales de Vectores y Rectas en el Plano Cartesiano

Conceptos Fundamentales de Vectores

Un vector es un segmento orientado que se determina por dos puntos, A y B, y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo se denomina extremo, y se escribe AB.

Elementos de un Vector

• Módulo: Longitud del segmento AB.
• Dirección: Recta sobre la que está situado el vector. Una recta y todas sus paralelas determinan una misma dirección.
• Sentido: Es la forma de recorrer el segmento AB, es decir, de fijar el origen y el extremo.

Coordenadas de un Vector

Las coordenadas o componentes del vector AB son las coordenadas del punto extremo B(b₁, b₂) menos las del punto origen A(a₁, a₂).

Cálculo del Módulo de un Vector

Si las coordenadas de un vector v son (v₁, v₂), su módulo es: |v| = √(v₁² + v₂²).

Vectores Equivalentes y Paralelos

• Vectores Equivalentes: Dos vectores son equivalentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido. En coordenadas, u=(u₁, u₂) y v=(v₁, v₂) son equivalentes cuando sus coordenadas son iguales: u₁ = v₁ y u₂ = v₂.
• Vectores Paralelos: Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección. En coordenadas, u=(u₁, u₂) y v=(v₁, v₂) son paralelos cuando sus coordenadas son proporcionales: u₁/v₁ = u₂/v₂.

Operaciones con Vectores

Suma y Resta de Vectores

• Suma: En coordenadas, si las coordenadas del vector u son (u₁, u₂) y las de v son (v₁, v₂), el vector suma se calcula sumándolos coordenada a coordenada. u+v = (u₁, u₂) + (v₁, v₂) = (u₁+v₁, u₂+v₂).
• Resta: En coordenadas, si las coordenadas del vector u son (u₁, u₂) y las de v son (v₁, v₂), el vector diferencia se calcula restándolos coordenada a coordenada. u-v = (u₁, u₂) - (v₁, v₂) = (u₁-v₁, u₂-v₂).

Multiplicación de un Vector por un Número (Escalar)

En coordenadas, si u=(u₁, u₂), el producto de un número real k por un vector u se calcula multiplicando cada coordenada por el número k. k·u = (k·u₁, k·u₂).

Suma de un Punto y un Vector

En coordenadas, si A(a₁, a₂) y u=(u₁, u₂), su suma es otro punto B cuyas coordenadas son: B = A + u → (a₁, a₂) + (u₁, u₂) = (a₁+u₁, a₂+u₂).

Ecuaciones de la Recta en el Plano

Ecuación Vectorial

La forma de expresar una recta mediante la traslación de un punto por un vector es la ecuación vectorial de la recta: P = A + t·v, siendo t un número real. Si A(a,b) es un punto de la recta, v=(v₁, v₂) es un vector director de la recta y t es un número real, cualquier punto P(x,y) de la recta se puede obtener con la ecuación vectorial de esta forma: (x,y) = (a,b) + t·(v₁, v₂). El vector v=(v₁, v₂) se llama vector director de la recta.

Ecuaciones Paramétricas

A partir de la ecuación vectorial (x,y) = (a,b) + t·(v₁, v₂), siendo t un número real, si igualamos coordenada a coordenada, obtenemos un sistema:

• 1ª Ec.: x = a + t·v₁
• 2ª Ec.: y = b + t·v₂

Ecuación Continua

Despejando t en las ecuaciones paramétricas e igualando, tenemos que: (x-a)/v₁ = (y-b)/v₂.

Ecuación Punto-Pendiente

A partir de la ecuación explícita, se puede obtener la ecuación y-b = m(x-a) donde m es la pendiente y A(a,b) es un punto en la recta.

Ecuación Explícita

La ecuación explícita de la recta es: y = mx+n donde m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen.

Ecuación General (o Implícita)

La ecuación general o implícita de la recta es de la forma: Ax+By+C=0 con A, B y C números reales, y se obtiene, a partir de las ecuaciones que hemos visto, agrupando sus términos en un miembro.

Posiciones Relativas de Dos Rectas en el Plano

Para dos rectas r y r' en el plano, con vectores directores v=(v₁, v₂) y v'=(v'₁, v'₂), pendientes m y m', y ecuaciones generales Ax+By+C=0 y A'x+B'y+C'=0, sus posiciones relativas pueden ser:

Rectas Paralelas

• Tienen la misma dirección y no poseen puntos comunes.
• Vectores directores: v₁/v'₁ = v₂/v'₂
• Pendientes: Iguales (m = m')
• Ecuación general: A/A' = B/B' ≠ C/C'

Rectas Coincidentes

• Tienen la misma dirección y todos los puntos comunes.
• Vectores directores: v₁/v'₁ = v₂/v'₂
• Pendientes: Iguales (m = m')
• Ecuación general: A/A' = B/B' = C/C'

Rectas Secantes

• Sus direcciones son distintas y solo tienen un punto en común, que es el punto de corte de las dos rectas.
• Vectores directores: v₁/v'₁ ≠ v₂/v'₂
• Pendientes: Distintas (m ≠ m')
• Ecuación general: A/A' ≠ B/B'