Conceptos Fundamentales de Vectores y Espacios Vectoriales en Matemáticas

Espacio Vectorial

El espacio vectorial es el conjunto de los números reales (R), donde la operación suma (+) y la operación producto (×) (sin el cero) forman una estructura de grupo abeliano, y (R, +, ×) tiene estructura de campo o cuerpo. Entonces, un espacio vectorial es el conjunto de todas las parejas ordenadas del producto cartesiano R×R: P(x,y) y Q(a,b), que en el plano cartesiano forman un vector denominado "vector anclado" porque....... Al espacio vectorial en forma general se lo expresa como V(R); si es bidimensional, V₂(R); si es tridimensional, V₃(R); si es n-dimensional, V_n(R).

Para todo vector anclado PQ existe un vector Q-P denominado "vector anclado en el origen", que tiene igual módulo, dirección y sentido.

Vectores Iguales

Dados los vectores A y B elementos de V, son iguales si sus componentes son iguales. Ejemplo: Si A = (m,n) y B = (p,q), entonces son iguales si m=p y n=q.

Espacio Tridimensional

V₃(R).- Dados los puntos P(x,y,z) y Q(A,B,C), se tiene el vector anclado PQ, y su correspondiente vector anclado en el origen Q-P, que cumple con todas las propiedades y operaciones de V_n(R).

Suma de Vectores

Dados los vectores A y E elementos de V, la suma A + E es igual a otro vector con la suma de sus componentes correspondientes. Ejemplo: Si A = (m,n) y E = (p,q), entonces A+E = (m+p, n+q).

Métodos para la Suma

Método del triángulo y método del paralelogramo.

Producto de un Escalar por un Vector

Dado el vector A y K, un elemento de R (los números reales), K × A es igual a otro vector cuyos componentes son los productos del escalar por cada componente del vector. Ejemplo: Si A = (m,n), entonces K × A = (Km, Kn).

Producto Escalar o Producto Punto

Dados los vectores A y B elementos de V, el producto escalar o producto punto es un escalar que resulta de la suma de los productos de las componentes correspondientes. Si A = (m,n) y B = (q,p), entonces A · B = (m·q + n·p).

Vectores Perpendiculares (Ortogonalidad)

Dos vectores A y B son perpendiculares si su producto punto es igual a 0.

Magnitud del Vector

El vector A=(m,n) forma en el plano cartesiano un triángulo rectángulo donde el vector es igual a la hipotenusa y su longitud se calcula mediante el Teorema de Pitágoras. |A| = √(m²+n²).

La magnitud del vector también es igual a la raíz cuadrada del producto punto del vector por sí mismo.

Dirección del Vector

El vector A=(m,n) forma un ángulo con el eje x, que se calcula mediante funciones trigonométricas. Para un vector en el plano, tan(θ) = n/m. Para V₃(R), tan(φ) = A_y / √(A_x²+A_z²).

Combinaciones Lineales

Dados el conjunto V de vectores y R de números reales, se denomina combinación lineal al vector x = k₁A₁ + k₂A₂ + ... + k_nA_n.

Vectores Linealmente Independientes

Una combinación lineal es verdadera si para todo k ∈ R; entonces los vectores A, B, ..., N se denominan linealmente independientes y forman un sistema libre.

Vectores Linealmente Dependientes

Si existe k ∈ R que no es igual a 0, entonces los vectores son linealmente dependientes y forman un sistema ligado.

Los vectores linealmente independientes son paralelos o equivalentes y se los determina: B-A = m(Q-P).

Son componentes vectoriales del vector suma A+B=C. De igual forma, todo vector es el resultado de la suma de dos vectores C=A+B.

Los vectores (1,0) y (0,1) se denominan vectores base o base canónica.

Se representan como i = (1,0) y j = (0,1). Son perpendiculares, por lo que se denominan también base ortogonal.