Conceptos Fundamentales de Variables y Resolución de Desigualdades y Sistemas de Ecuaciones

Introducción a Conceptos Matemáticos Fundamentales

Primera parte

Una variable es un símbolo constituyente de un predicado, fórmula, algoritmo o de una proposición.

Variables en Funciones

Variable Independiente

• Una variable independiente es aquella cuyo valor no depende del de otra variable.
• La variable independiente en una función se suele representar por $x$.
• La variable independiente se representa en el eje de abscisas.

Variable Dependiente

• Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable.
• La variable dependiente en una función se suele representar por $y$.
• La variable dependiente se representa en el eje ordenadas.
• La variable $y$ está en función de la variable $x$.

Resolución de Desigualdades Lineales

Ejercicio 1: Resolución Gráfica de una Desigualdad

Resuelve y grafica la desigualdad $5x - 10 < 15$

1. Paso 1: Aquí, no tenemos nada para simplificar, por lo que empezamos con: $5x - 10 < 15$
2. Paso 2: Para despejar la variable, sumamos 10 de ambos lados y simplificamos: $5x - 10 + 10 < 15 + 10$ $\Rightarrow$ $5x < 25$
3. Paso 3: Para resolver, dividimos ambos lados por 5: $\frac{5x}{5} < \frac{25}{5}$ $\Rightarrow$ $x < 5$
4. Paso 4: Para graficar, notamos que las soluciones a la desigualdad son todos los números reales hacia la izquierda de 5. El 5 no está incluido, por lo que usamos un punto vacío para indicar esto:

0

Ejercicio 3: Resolución de Desigualdad con Términos en Ambos Lados

Ejercicio 4: Resolución de Desigualdad con Paréntesis

EJERCICIO 4

Resuelve la desigualdad $3(x+2) > -9$

Paso 1: Tenemos paréntesis, por lo que aplicamos la propiedad distributiva para eliminarlos: $3(x+2) > -9$

$3x + 6 > -9$

Paso 2: Para despejar la variable, restamos 6 a ambos lados: $3x + 6 - 6 > -9 - 6$ $\Rightarrow$ $3x > -15$

Paso 3: Para resolver, dividimos ambos lados por 3:

$\frac{3x}{3} > \frac{-15}{3}$ $\Rightarrow$ $x > -5$

Ejercicio 5: Desigualdad con Simplificación de Términos

EJERCICIO 5

Resuelve la desigualdad $2(2x+4) + 5 > 1$

Paso 1: Simplificamos el paréntesis y combinamos términos semejantes

$2(2x+4) + 5 > 1$ $\Rightarrow$ $4x + 8 + 5 > 1$ $\Rightarrow$ $4x + 13 > 1$

Paso 2: Despejamos la variable al restar 13 de ambos lados

$4x + 13 - 13 > 1 - 13$ $\Rightarrow$ $4x > -12$

Paso 3: Tenemos que dividir por 4

$\frac{4x}{4} > \frac{-12}{4}$ $\Rightarrow$ $x > -3$

Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones 2x2 Resueltos

Resolución por Método de Sustitución

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

Consideremos el sistema:

• Ecuación 1: $x + 2y = 10$
• Ecuación 2: $2x - y = 5$

1. Paso 1: No tenemos nada para simplificar en las ecuaciones originales.
2. Paso 2: Podemos despejar la variable $x$ de la primera ecuación: $x + 2y = 10$ $\Rightarrow$ $x = 10 - 2y$
3. Paso 3: Sustituimos la expresión $x = 10 - 2y$ en la segunda ecuación:

$2x - y = 5$

$2(10 - 2y) - y = 5$

$20 - 4y - y = 5$

Paso 4: Resuelve para $y$:

$20 - 5y = 5$

$-5y = 5 - 20$

$-5y = -15$

$y = 3$

Paso 5: Sustituimos $y=3$ en la expresión despejada de la primera ecuación: $x + 2y = 10$ $\Rightarrow$ $x + 2(3) = 10$ $\Rightarrow$ $x + 6 = 10$ $\Rightarrow$ $x = 4$

La solución del sistema es $(x, y) = (4, 3)$.