Conceptos Fundamentales de Trigonometría y Geometría: Teorema, Leyes y Funciones

Conceptos Fundamentales de Trigonometría y Geometría

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es fundamental para trabajar con triángulos rectángulos. Establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (catetos).

Fórmula General:

hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂²

Buscando un Cateto

Para encontrar la longitud de un cateto cuando se conocen la hipotenusa y el otro cateto:

1. Eleva al cuadrado la medida de la hipotenusa y la del cateto conocido.
2. Resta el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa.
3. Calcula la raíz cuadrada del resultado para obtener la longitud del cateto desconocido.

Ejemplo:

Si hipotenusa = 20 y cateto₁ = 6, encuentra cateto₂ (x):

20² = x² + 6²
400 = x² + 36
x² = 400 - 36
x² = 364
x = √364
x ≈ 19.07

Buscando la Hipotenusa

Para encontrar la longitud de la hipotenusa cuando se conocen ambos catetos:

1. Eleva al cuadrado las medidas de ambos catetos y súmalas.
2. Calcula la raíz cuadrada del resultado para obtener la longitud de la hipotenusa.

Ejemplo:

Si cateto₁ = 7 y cateto₂ = 14, encuentra la hipotenusa (h):

h² = 7² + 14²
h² = 49 + 196
h² = 245
h = √245
h ≈ 15.65

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas (Seno, Coseno y Tangente) relacionan los ángulos de un triángulo rectángulo con las longitudes de sus lados. Son esenciales para resolver problemas de triángulos.

Funciones Directas

• Seno (Sen θ) = Cateto Opuesto / Hipotenusa (C.O./H)
• Coseno (Cos θ) = Cateto Adyacente / Hipotenusa (C.A./H)
• Tangente (Tan θ) = Cateto Opuesto / Cateto Adyacente (C.O./C.A.)

Funciones Trigonométricas Inversas

Las funciones inversas se utilizan para encontrar el valor de un ángulo cuando se conocen las razones de los lados.

• Cosecante (Csc θ) = Hipotenusa / Cateto Opuesto (H/C.O.)
• Secante (Sec θ) = Hipotenusa / Cateto Adyacente (H/C.A.)
• Cotangente (Cot θ) = Cateto Adyacente / Cateto Opuesto (C.A./C.O.)

Ejemplo para encontrar ángulos:

1. Dependiendo de los datos disponibles (lados conocidos), elige la función trigonométrica adecuada.
2. Aplica la función inversa para despejar el ángulo.

Si Cos β = C.A./H y C.A. = 8, H = 12:

Cos β = 8/12
β = Cos⁻¹(8/12)
β ≈ 48.18°

Para encontrar el ángulo complementario en un triángulo rectángulo (si el otro ángulo es 90°):

90° - 48.18° = 41.82°

Ley de Cosenos

La Ley de Cosenos es una generalización del Teorema de Pitágoras y se utiliza para resolver triángulos no rectángulos (oblicuángulos) cuando se conocen dos lados y el ángulo incluido entre ellos (LAL), o cuando se conocen los tres lados (LLL).

Fórmulas para Encontrar Lados

• a² = b² + c² - 2bc Cos(A)
• b² = a² + c² - 2ac Cos(B)
• c² = a² + b² - 2ab Cos(C)

Donde a, b, c son las longitudes de los lados y A, B, C son los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente.

Ejemplo para encontrar un lado:

Si b = 120, c = 200 y A = 30°, encuentra a (X):

X² = 120² + 200² - 2(120)(200) Cos(30°)
X² = 14400 + 40000 - 2(24000)(0.8660)
X² = 54400 - 41568
X² = 12832
X = √12832
X ≈ 113.27

Fórmulas para Encontrar Ángulos

Para encontrar un ángulo, se puede despejar la fórmula de la Ley de Cosenos:

• Cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc)
• Cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac)
• Cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

Ejemplo para encontrar un ángulo:

Si a = 26, b = 44 y c = 38, encuentra el ángulo B (β):

26² = 44² + 38² - 2(44)(38) Cos(β)
676 = 1936 + 1444 - 3344 Cos(β)
676 = 3380 - 3344 Cos(β)
676 - 3380 = -3344 Cos(β)
-2704 = -3344 Cos(β)
Cos(β) = -2704 / -3344
Cos(β) ≈ 0.8086
β = Cos⁻¹(0.8086)
β ≈ 36.04°

Ley de Senos

La Ley de Senos se utiliza para resolver triángulos no rectángulos cuando se conocen dos ángulos y un lado (AAL o ALA), o dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA - caso ambiguo).

Fórmula General

a / Sen(A) = b / Sen(B) = c / Sen(C)

Donde a, b, c son las longitudes de los lados y A, B, C son los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente.

Para encontrar un ángulo o un lado, se debe establecer la proporción adecuada entre dos de las fracciones.

Ejemplo para encontrar un ángulo:

Si a = 11.7, A = 47° y b = 13.2, encuentra el ángulo B (∞):

11.7 / Sen(47°) = 13.2 / Sen(∞)
11.7 * Sen(∞) = 13.2 * Sen(47°)
Sen(∞) = (13.2 * Sen(47°)) / 11.7
Sen(∞) = (13.2 * 0.7313) / 11.7
Sen(∞) ≈ 0.825
∞ = Sen⁻¹(0.825)
∞ ≈ 55.58°

Ejemplo para encontrar un lado:

Continuando con el ejemplo anterior, si el tercer ángulo es C = 77.4° (asumiendo que se calculó previamente o es dado), encuentra el lado c (X):

11.7 / Sen(47°) = X / Sen(77.4°)
11.7 * Sen(77.4°) = X * Sen(47°)
X = (11.7 * Sen(77.4°)) / Sen(47°)
X = (11.7 * 0.9759) / 0.7313
X ≈ 15.61

Conversiones de Ángulos

Grados a Radianes

Para convertir un ángulo de grados a radianes, se utiliza la siguiente relación:

#Radianes = #Grados * (π Radianes / 180°)

Ejemplo: Convertir 40° a radianes:

40° * (π Rad / 180°)
= 40π Rad / 180
= 2π/9 Radianes (simplificando la fracción)

Radianes a Grados

Para convertir un ángulo de radianes a grados, se utiliza la siguiente relación:

#Grados = #Radianes * (180° / π Radianes)

Ejemplo: Convertir 3π/5 Radianes a grados:

(3π Rad / 5) * (180° / π Rad)
= (3 * 180°) / 5
= 540° / 5
= 108°

Conversiones de Minutos y Segundos a Grados Decimales

Para trabajar con ángulos en formato decimal, es útil convertir minutos y segundos a fracciones de grado:

• 1 minuto (') = 1/60 de grado (1/60°)
• 1 segundo ('') = 1/60 de minuto = 1/3600 de grado (1/3600°)