Conceptos Fundamentales y Tipos de Funciones Matemáticas

Definición y Representación de Funciones

Función: Es una relación entre un conjunto "A" y un conjunto "B" cualquiera de forma tal que a cada elemento de "A" le corresponda un único elemento de "B".

Representación de Funciones:

1. Mediante un diagrama sagital:

   

2. Mediante una expresión verbal: "un número más dos", "un número multiplicado por sí mismo", "un número dividido entre dos".
3. Mediante una fórmula o ecuación: "f(x) = x + 2".
4. Representación mediante tablas:

   

5. Mediante un gráfico.

Conceptos Clave de Funciones

Dominio

El dominio está formado por todos los elementos del conjunto de partida y se denota: dom(f).

Rango (Recorrido)

El rango es el conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del conjunto de llegada o codominio.

Clasificación de Funciones (Según Inyectividad y Sobreyectividad)

Función Inyectiva

Una función es inyectiva si para cualquier par de elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas del codominio.

Función Sobreyectiva

Una función es sobreyectiva si el rango coincide con el codominio.

• Función Biyectiva: Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Tipos Específicos de Funciones

Función Afín

Función de variable real cuya representación gráfica es un conjunto de puntos en línea recta y viene dada por: $y = f(x) = ax + b$.

Características de la Función Afín:

• Dom(f) = $\mathbb{R}$
• Rang(f) = $\mathbb{R}$ si $a \neq 0$.
• Si $a > 0$, la función es creciente.
• Si $a < 0$, la función es decreciente.

Ejemplo: $g(x) = \frac{1}{2}x + 5$

Función Cuadrática

Función real de variable real que tiene como gráfico un conjunto de puntos en forma de parábola.

Características de la Función Cuadrática:

• Dom(f) = $\mathbb{R}$
• Es sobreyectiva (si consideramos el codominio adecuado, pero generalmente se estudia su rango específico).
• No es inyectiva.
• El punto donde abre la parábola se llama vértice.
• Si $a > 0$, la parábola abre hacia arriba.
• Si $a < 0$, la parábola abre hacia abajo.

Rango:

• Si $a > 0$:

  

• Si $a < 0$:

  

Ejemplo: $f(x) = x^2 + 2x - 1$

Función Exponencial

Sea $a$ un número real positivo ($a > 0$ y $a \neq 1$). La función que a cada número real $x$ le hace corresponder la potencia $a^x$ se llama función exponencial de base $a$ y exponente $x$.

Características de la Función Exponencial:

• Dominio: $\mathbb{R}$ (representado por $\text{R}$ en la imagen).
• Recorrido (Rango): $\mathbb{R}^+$ (Números reales positivos).
• Es continua.
• Los puntos $(0, 1)$ y $(1, a)$ pertenecen a la gráfica.
• Es inyectiva (toda $a \neq 1$, ninguna imagen tiene más de un original).
• Creciente si $a > 1$.
• Decreciente si $0 < a < 1$.
• Las curvas $y = a^x$ y $y = (1/a)^x$ son simétricas respecto del eje OY.

Ejemplo: $f(x) = 2^x$