Conceptos Fundamentales de la Teoría de Probabilidad
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Teoría de Probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Tipos de Sucesos
Suceso Elemental
Es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Suceso Compuesto (Suceso Aleatorio)
Es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Suceso Seguro
(E), está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).
Suceso Imposible
Es el conjunto vacío (∅), es el que no tiene ningún elemento.
Por ejemplo, al tirar un dado, obtener una puntuación igual a 7.
Sucesos Compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
Sucesos Incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.
Sucesos Independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Sucesos Dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Suceso Contrario
El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por suceso contrario.
Unión de Sucesos
La unión de sucesos, A unión B (A ∪ B), es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.
Intersección de Sucesos
La intersección de sucesos, A intersección B (A ∩ B), es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.
Diferencia de Sucesos
La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Propiedad de la Diferencia de Sucesos
Sucesos Contrarios
El suceso contrario (Aᶜ o Ā) = E − A se llama suceso contrario o complementario de A.
Axiomas de la Probabilidad
- 1. 0 ≤ p(A) ≤ 1
- 2. p(E) = 1
- 3. p(A ∪ B) = p(A) + p(B) (Si A y B son incompatibles)
Propiedades de la Probabilidad
- 1. Probabilidad del suceso contrario
- 2. Probabilidad del suceso imposible
- 3. unión
- 4. unión
- 5. Si A₁, A₂, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:
- unión
- 6. Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x₁, x₂, ..., xn} entonces:
- unión
Ley de Laplace
Probabilidad de la Unión de Sucesos Incompatibles
A ∩ B = Conjunto vacío (∅)
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
Probabilidad de la Unión de Sucesos Compatibles
A ∩ B ≠ Conjunto vacío (∅)
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
Probabilidad Condicionada
Probabilidad de la Intersección de Sucesos Independientes
p(A ∩ B) = p(A) · p(B)
Probabilidad de la Intersección de Sucesos Dependientes
p(A ∩ B) = p(A) · p(B/A)
Teorema de la Probabilidad Total
Si A₁, A₂, ..., An son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ An = E) y B es otro suceso, resulta que:
condicionada
Teorema de Bayes
Si A₁, A₂, ..., An son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ An = E) y B es otro suceso, resulta que:
Bayes