Conceptos Fundamentales de Teoría de Números: Conjuntos Acotados, División Entera y MCD

Conceptos Fundamentales de Teoría de Números

Relaciones de Orden

Menor que: Dados dos números a y b, definimos "a menor que b" y lo indicamos como a < b.

Mayor que: Dados dos números a y b, definimos "a mayor que b" y lo indicamos como a > b.

Conjuntos Acotados

Sea A un conjunto no vacío de números naturales:

• Cota Superior: K es una cota superior de A si y solo si para todo a perteneciente a A, a ≤ K.
• Cota Inferior: H es una cota inferior de A si y solo si para todo a perteneciente a A, H ≤ a.
• Conjunto Acotado Superiormente: A es acotado superiormente si y solo si existe al menos una cota superior de A.
• Conjunto Acotado Inferiormente: A es acotado inferiormente si y solo si existe al menos una cota inferior de A.
• Máximo: K es máximo de un conjunto si y solo si K es cota superior y K pertenece al conjunto. Un conjunto tiene máximo cuando la menor de las cotas superiores pertenece al conjunto.
• Mínimo: H es mínimo de un conjunto si y solo si H es una cota inferior y H pertenece al conjunto. Un conjunto tiene mínimo cuando la mayor de las cotas inferiores pertenece al conjunto.

Principio de Buena Ordenación

Todo conjunto de números naturales no vacío tiene mínimo.

Nota: Las definiciones anteriores de cotas, máximo y mínimo referidas a conjuntos de números naturales son análogas para conjuntos de números enteros, racionales y reales en general.

División Entera

Dados dos números naturales a y b, con b distinto de 0, dividir a por b es hallar dos números naturales q y r tales que: a = bq + r, con r < b.

• Múltiplo: Dados dos números naturales a y b, a es múltiplo de b si y solo si existe un número q perteneciente a los naturales tal que a = bq.
• Divisor: Dados dos números naturales a y b, con b distinto de 0, b divide a a si y solo si existe un número q perteneciente a los naturales tal que a = bq.

Máximo Común Divisor (MCD)

Dados dos o más números naturales, se llama máximo común divisor de dichos números al mayor de los divisores comunes.

Números primos entre sí: Dos números naturales se llaman primos entre sí si y solo si el único divisor común entre ambos es el 1.

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Propiedades del MCM

1. MCM(a; b) * MCD(a; b) = a * b
2. Si MCM(a; b) = m, entonces MCM(ax; bx) = mx
3. Si MCM(a; b) = m, entonces MCM(a/x; b/x) = m/x, siempre y cuando a/x y b/x pertenezcan a los números naturales.