Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Variables Aleatorias

Conceptos Básicos de Probabilidad

Espacio Muestral (E): Se llama espacio muestral (E), asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Evento o Suceso: Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral.

Enfoques de la Probabilidad

• Enfoque Clásico o A Priori: Permite determinar valores de probabilidad antes de que sea observado cualquier evento muestral.

• Enfoque de Frecuencias Relativas o Empírico: La probabilidad se determina con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en cierto número de observaciones o experimentos.

• Enfoque Subjetivo o Personalista: La probabilidad de un evento es el grado de verosimilitud que un individuo concede a la ocurrencia del evento, con base en toda la evidencia de que dispone (juicio personal).

Momios

Momios: (Alternativa para representar la probabilidad). La razón de momios a favor de la ocurrencia de un evento A es la razón del número relativo de resultados a favor de A (representados por “a”), respecto del número relativo de resultados que no están a favor de A (representados por “b”).

Tipos de Eventos y Reglas

Eventos Mutuamente Excluyentes: La ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia de otro; no ocurren al mismo tiempo.

Eventos No Excluyentes: Pueden ocurrir al mismo tiempo, pero no necesariamente de forma conjunta.

Reglas de la Adición (o Suma): Se emplean cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra un evento u otro (o ambos) en una sola observación.

Eventos Independientes: La ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene ningún efecto en la probabilidad de ocurrencia de otro evento.

Eventos Dependientes: La ocurrencia de un evento afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

Probabilidad Condicional: Se utiliza para eventos dependientes para designar la probabilidad de ocurrencia del evento relacionado. La expresión P(B|A) indica la probabilidad de que ocurra el evento B, dado que ya ha ocurrido el evento A.

Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada resultado de un experimento aleatorio.

Cuando a todos los posibles valores numéricos de una variable aleatoria se les asignan valores de probabilidad, el resultado es una distribución de probabilidad. La suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1.

Tipos de Variables Aleatorias

Variable Aleatoria Discreta

Una variable aleatoria es discreta si sus posibles valores pueden enlistarse (conjunto finito o infinito numerable). Es aquella cuya función de probabilidad toma valores positivos en dicho conjunto. Existen varios tipos que pueden servir de modelo:

• Binomial
• Hipergeométrica
• Poisson

Variable Aleatoria Continua

Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En este caso, no pueden enlistarse todos los posibles valores (incluyendo fraccionarios), motivo por el cual las probabilidades se determinan por medio de una función de densidad de probabilidad o curva de probabilidad. Dentro de las más importantes están:

• Ji Cuadrado (Chi-cuadrado)
• Exponencial
• Normal

Distribuciones de Probabilidad Específicas

Distribución Binomial

Mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de éxito en cada ensayo. Se asocia a muestreos con reemplazo. Se deben cumplir 5 condiciones:

1. Existe una serie de N ensayos.
2. En cada ensayo hay solo dos posibles resultados (éxito o fracaso).
3. En cada ensayo, los posibles resultados son mutuamente excluyentes.
4. Los resultados de cada ensayo son independientes entre sí.
5. La probabilidad de cada resultado posible en cualquier ensayo es la misma de un ensayo a otro.

Distribución de Poisson

Modela el número de eventos discretos que ocurren en un área de oportunidad (un intervalo fijo de tiempo, longitud, superficie, etc.), bajo ciertas condiciones. Se aplica a situaciones como:

• Número de glóbulos blancos en una muestra de sangre.
• Número de llamadas telefónicas recibidas en un conmutador en un intervalo de tiempo.

Distribución Hipergeométrica

Modela el número de éxitos en un número fijo de extracciones sin reemplazo de una población finita donde hay un número determinado de éxitos. Características:

• Se esperan dos tipos de resultados (éxito/fracaso).
• Las probabilidades de éxito cambian en cada extracción (no son constantes).
• Los ensayos no son independientes entre sí.
• El número de ensayos (extracciones) n es constante.