Conceptos Fundamentales de Probabilidad: Experimentos, Sucesos y Teoremas Clave

Tipos de Experimentos en Probabilidad

En el estudio de la probabilidad, distinguimos principalmente dos tipos de experimentos:

Experimento Determinista

Es aquel cuyo resultado se puede predecir con total certeza antes de realizarlo.

Experimento Aleatorio

Es aquel en el que no se puede predecir el resultado, ya que este depende del azar. A este tipo de experimento se asocian tres conceptos fundamentales:

• Espacio Muestral (E): Es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento.
• Espacio de Sucesos: Es el conjunto formado por todos los sucesos asociados a ese experimento.
• Suceso: Es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Clasificación de los Sucesos

Los sucesos se pueden clasificar de la siguiente manera:

• Suceso Elemental: Si está formado por un único resultado posible.
• Suceso Compuesto: Si está formado por varios sucesos elementales.
• Suceso Imposible (∅): Si no puede ocurrir nunca.
• Suceso Seguro (E): Si ocurre siempre. Coincide con el espacio muestral.
• Suceso Contrario o Complementario (A'): Dado un suceso A, su contrario está formado por todos los sucesos elementales que no pertenecen a A.

Operaciones con Sucesos

• Unión (A ∪ B): Formado por todos los elementos de A y de B. Ocurre cuando sucede A, o sucede B, o ambos a la vez.
• Intersección (A ∩ B): Formado por los elementos comunes de A y B. Ocurre si suceden A y B al mismo tiempo.
• Diferencia (A - B): Compuesto por los elementos de A que no están en B. Ocurre cuando sucede A y no sucede B.

Compatibilidad de Sucesos

• Son compatibles cuando tienen algún elemento en común (su intersección no es vacía).
• Son incompatibles si no tienen ningún elemento en común (su intersección es el suceso imposible).

La Probabilidad de un Suceso

La probabilidad de un suceso A, denotada como P(A), es el valor al que tiende su frecuencia relativa, h(A), al repetir el experimento un número infinito de veces.

Propiedades de la Probabilidad

La probabilidad asociada a un experimento aleatorio siempre cumple las siguientes propiedades:

1. La probabilidad de cualquier suceso A está comprendida entre 0 y 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. La probabilidad de un suceso imposible es 0: P(∅) = 0.
3. La probabilidad del suceso seguro es 1: P(E) = 1.

Sucesos Equiprobables y la Regla de Laplace

Sucesos Equiprobables

En un experimento aleatorio, los sucesos elementales son equiprobables si todos tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Regla de Laplace

Si en un experimento aleatorio todos los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de un suceso A se puede calcular como: P(A) = (Número de casos favorables a A) / (Número de casos posibles).

Probabilidad en Operaciones con Sucesos

Probabilidad de la Unión de Sucesos A y B

Fórmula para calcular la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B.

Probabilidad del Suceso Contrario de A

Fórmula para calcular la probabilidad de que no ocurra el suceso A.

Dependencia e Independencia de Sucesos

• Dos sucesos son dependientes cuando la realización del segundo está condicionada por la realización del primero.
• Dos sucesos son independientes cuando la realización del segundo no está condicionada por la realización del primero.

La probabilidad de un suceso compuesto de un experimento es el producto de las probabilidades de los sucesos simples que lo forman.

Teoremas Fundamentales de Probabilidad

Probabilidad Condicionada

Si A y B son dos sucesos de un experimento y B no es el suceso imposible, la probabilidad de A condicionado por B es:

Teorema de la Probabilidad Total

Permite calcular la probabilidad de un suceso B, donde B es un suceso cualquiera asociado al experimento y A₁, A₂, ... son un conjunto de sucesos que verifican:

• Son incompatibles dos a dos.
• Su unión es el espacio muestral.

Teorema de Bayes

Permite calcular la probabilidad P(Aᵢ|B), donde B es un suceso cualquiera asociado al experimento y A₁, A₂, ... son un conjunto de sucesos que verifican:

• Son incompatibles dos a dos.
• Su unión es el espacio muestral.