Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística: Variables Aleatorias y Axiomas

Conceptos Clave en Estadística y Probabilidad

Varianza de la Resta de Variables Aleatorias

Pregunta: ¿Cuál es la varianza de la resta de dos variables aleatorias cualesquiera?

Respuesta: Es la suma de sus varianzas menos dos veces la covarianza entre ellas.

Independencia y Covarianza

Afirmación: Si dos variables son independientes, su covarianza es cero. (Correcta)

Función de Densidad

Propiedad: La función de densidad toma el valor uno si se integra en todo el recorrido de la variable. (Correcta)

Diferencia entre Índices de Laspeyres y Paasche

Pregunta: ¿En qué se diferencia el índice de Laspeyres del de Paasche?

Respuesta: Ambos índices son medias aritméticas (ponderadas), pero el índice de Laspeyres se construye con ponderaciones p_i0q_i0, mientras que el de Paasche se construye con ponderaciones p_i0q_it.

Medidas de Tendencia Central: La Moda

Pregunta: Si para una variable estadística X se calcula una medida que señala el valor de la variable que más veces se repite, ¿qué medida se estaría calculando?

Respuesta: Una medida de tendencia central denominada moda.

Independencia de Variables Estadísticas

Pregunta: Si dos variables estadísticas X e Y son independientes, ¿entonces se cumple que?

• S_xy = 0 (La covarianza es cero)
• A₁₁ = a₁₀a₀₁
• F_ij = f_if_j (La función de probabilidad conjunta es el producto de las marginales)

Deflactación

Definición: Deflactar consiste en dividir el precio nominal entre el deflactor para obtener el precio real.

Cota de Chebyshev

Propiedad: En la cota de Chebyshev, si aumenta K, aumenta la probabilidad de que la variable esté comprendida entre μ ± Kσ.

Concepto de Variable Aleatoria

Afirmación correcta: Una variable aleatoria es una aplicación que asocia a cada suceso elemental del espacio muestral un número real.

Propiedad de la Función de Densidad de una V.A. Continua

Afirmación correcta: Su función de densidad puede ser mayor que 1.

Función de Distribución de una V.A.

Afirmación correcta: Es igual a la probabilidad acumulada hasta ese punto.

Valores de la Función de Densidad

Afirmación correcta: Puede tomar valores no enteros.

Rango de la Función de Distribución

Afirmación correcta: Siempre es menor o igual que uno.

Esperanza Matemática

Afirmación correcta: Es la media de una variable aleatoria.

Dominio de la Función de Distribución

Afirmación correcta: Está definida para cualquier valor real de la variable.

Momento de Segundo Orden Respecto al Origen

Afirmación correcta: Se puede calcular como la suma de la varianza y la media al cuadrado.

Varianza de Combinaciones Lineales de Variables Independientes

Afirmación correcta: Siendo a y b constantes, y X e Y variables aleatorias independientes, la varianza V(aX – bY) es igual a a²V(X) + b²V(Y).

Esperanza Matemática y Unidades de Medida

Afirmación falsa: La esperanza matemática de una variable aleatoria no depende de las unidades de medida de la variable. (Esta afirmación es falsa, la esperanza sí depende de las unidades de medida).

Transformación de Sucesos a Números Reales

Pregunta: La transformación de los sucesos del espacio muestral a valores de la recta real (el paso del espacio de sucesos a los números reales) es posible gracias a:

Respuesta: La variable aleatoria.

Función de Cuantía de una V.A. Discreta

Propiedad: Dada una variable aleatoria discreta, el valor en un punto de su función de cuantía siempre es menor o igual que uno.

Axiomática de Kolmogorov y Propiedades Derivadas

Axiomas Fundamentales de la Probabilidad

Los axiomas de Kolmogorov son la base matemática de la teoría de la probabilidad:

1. No negatividad: Para cualquier suceso A, la probabilidad es no negativa: P(A) ≥ 0.
2. Certeza: La probabilidad del espacio muestral (suceso seguro E) es 1: P(E) = 1.
3. Aditividad (para sucesos disjuntos): Si A y B son sucesos disjuntos o incompatibles (es decir, P(A ∩ B) = 0), entonces la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Propiedades Derivadas de los Axiomas

• Probabilidad de la unión de sucesos compatibles: Si A y B son sucesos compatibles, la probabilidad de su unión se calcula como: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Probabilidad del suceso imposible: La probabilidad del suceso imposible (∅) es cero: P(∅) = 0. Esto se deriva de P(∅) = 1 − P(E) = 1 − 1 = 0.
• Aditividad para n sucesos disjuntos: La probabilidad de la unión de n sucesos disjuntos S₁, …, S_n, es igual a la suma de sus probabilidades.
• Monotonía: Si un suceso A está contenido en B (A ⊂ B), entonces se verifica que P(A) ≤ P(B).
• Probabilidad de cualquier suceso: La probabilidad de cualquier suceso A es menor o igual a la unidad, ya que A ⊂ E implica P(A) ≤ P(E) = 1.
• Probabilidad del suceso complementario: La probabilidad del suceso complementario de un suceso A, denotado como A^c, es: P(A^c) = 1 − P(A). Esto se deriva de P(E) = 1 = P(A ∪ A^c) = P(A) + P(A^c).