Conceptos Fundamentales de Probabilidad, Estadística y Geometría Matemática

Problemas de Probabilidad

Problema 1: Probabilidad de Elementos Defectuosos

Una máquina A produce la mitad de la producción, y una máquina B produce la tercera parte. Las averías de las máquinas (elementos defectuosos) son 5%, 8% y 10% respectivamente. Hay una máquina C.

Datos:

• Máquina A: P(A) = 1/2, P(Defectuoso | A) = 5% = 0.05
• Máquina B: P(B) = 1/3, P(Defectuoso | B) = 8% = 0.08
• Máquina C: P(C) = 1 - 1/2 - 1/3 = 1/6, P(Defectuoso | C) = 10% = 0.10

1. Si se toma un elemento al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté averiado?

Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total:

P(Defectuoso) = P(Defectuoso | A) * P(A) + P(Defectuoso | B) * P(B) + P(Defectuoso | C) * P(C)

P(Defectuoso) = (0.05 * 1/2) + (0.08 * 1/3) + (0.10 * 1/6)

P(Defectuoso) = 0.025 + 0.02666... + 0.01666...

P(Defectuoso) = 0.06833... ≈ 6.83%

2. Si se selecciona un elemento defectuoso, hallar la probabilidad de que haya sido producido por la máquina B.

Aplicamos el Teorema de Bayes:

P(B | Defectuoso) = [P(Defectuoso | B) * P(B)] / P(Defectuoso)

P(B | Defectuoso) = (0.08 * 1/3) / (0.05 * 1/2 + 0.08 * 1/3 + 0.10 * 1/6)

P(B | Defectuoso) = 0.02666... / 0.06833...

P(B | Defectuoso) ≈ 0.3899 ≈ 39.0%

Problema 2: Extracción de Bolas de Colores

Se tienen 4 bolas blancas, 3 rojas y 5 negras, haciendo un total de 12 bolas. Se extraen 2 bolas al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?

Primero, calculamos el número total de combinaciones posibles al extraer 2 bolas de 12:

C(12, 2) = 12! / (2! * (12-2)!) = (12 * 11) / (2 * 1) = 66

Ahora, calculamos las combinaciones de extraer 2 bolas del mismo color:

• Combinaciones de 2 bolas blancas: C(4, 2) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6
• Combinaciones de 2 bolas rojas: C(3, 2) = (3 * 2) / (2 * 1) = 3
• Combinaciones de 2 bolas negras: C(5, 2) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10

El número total de posibilidades de que las 2 bolas sean del mismo color es: 6 + 3 + 10 = 19

La probabilidad de que las 2 bolas sean del mismo color es:

P(2 del mismo color) = (Casos favorables) / (Casos totales) = 19 / 66 ≈ 0.2878 ≈ 28.78%

Nota: La probabilidad de que las 2 bolas no sean del mismo color sería 1 - 0.2878 = 0.7122 ≈ 71.22%.

Fórmulas Fundamentales de Probabilidad

Combinatoria y Permutaciones

• Combinaciones (el orden no influye): C(N, M) = N! / (M! * (N - M)!)
• Permutaciones (el orden sí influye): P(n, m) = n! / (n - m)!
• Permutaciones de n elementos (se usan todos): P(n) = n!

Teorema de Bayes

P(A_i | B) = [P(A_i) * P(B | A_i)] / P(B)

Probabilidad Condicionada

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

Reglas de Probabilidad

• Intersección (para eventos independientes): P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
• Unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Distribución Normal Estándar (Z)

La fórmula para estandarizar una variable aleatoria X a una variable Z (distribución normal estándar) es:

Z = (X - μ) / σ

Donde:

• X es el valor de la variable aleatoria.
• μ (mu) es la media de la distribución.
• σ (sigma) es la desviación estándar de la distribución.

Al final, debemos buscar el valor de Z o la probabilidad en la tabla de la distribución normal estándar.

Cálculo de 'a' en la Distribución Normal

Problema 3: Calcular 'a' para P(0 ≤ Z ≤ a) = 0.3770

Sabemos que P(0 ≤ Z ≤ a) = P(Z ≤ a) - P(Z ≤ 0).

Dado que P(Z ≤ 0) = 0.5000 (valor de la tabla para Z=0):

P(Z ≤ a) - 0.5000 = 0.3770

P(Z ≤ a) = 0.3770 + 0.5000

P(Z ≤ a) = 0.8770

Buscando 0.8770 en la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que el valor de Z correspondiente es aproximadamente a = 1.16.

Ejemplo de Aproximación/Interpolación (cuando el valor no es exacto en la tabla)

Supongamos que buscamos un valor de Z para P(Z ≤ Z) = 0.69.

• P(Z ≤ 0.49) = 0.6879
• P(Z ≤ 0.50) = 0.6915

El valor 0.69 se encuentra entre 0.6879 y 0.6915. Podemos interpolar:

Z = 0.49 + [(0.69 - 0.6879) / (0.6915 - 0.6879)] * (0.50 - 0.49)

Z = 0.49 + [0.0021 / 0.0036] * 0.01

Z = 0.49 + 0.5833 * 0.01

Z = 0.49 + 0.005833

Z ≈ 0.4958

Cálculo de 'a' con Intervalo Negativo

Problema 4: Calcular 'a' para P(-1.5 ≤ Z ≤ a) = 0.0217

Sabemos que P(-1.5 ≤ Z ≤ a) = P(Z ≤ a) - P(Z ≤ -1.5).

Primero, encontramos P(Z ≤ -1.5). Por simetría de la distribución normal, P(Z ≤ -1.5) = 1 - P(Z ≤ 1.5).

Buscando en la tabla, P(Z ≤ 1.5) = 0.9332.

Entonces, P(Z ≤ -1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668.

Ahora sustituimos en la ecuación original:

P(Z ≤ a) - 0.0668 = 0.0217

P(Z ≤ a) = 0.0217 + 0.0668

P(Z ≤ a) = 0.0885

Dado que P(Z ≤ a) = 0.0885 es menor que 0.5, el valor de 'a' debe ser negativo. Buscamos en la tabla el valor de Z que corresponde a una probabilidad de 1 - 0.0885 = 0.9115.

Buscando 0.9115 en la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que corresponde exactamente a Z = 1.35.

Por lo tanto, a = -1.35.

Geometría Elemental

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (a) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (b y c):

a² = b² + c²

Teorema del Coseno

Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos Â, B̂, Ĉ:

• a² = b² + c² - 2bc * cos(Â)
• b² = a² + c² - 2ac * cos(B̂)
• c² = a² + b² - 2ab * cos(Ĉ)

Despejando el coseno de un ángulo:

cos(Â) = (b² + c² - a²) / (2bc)

Teorema del Seno

Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos Â, B̂, Ĉ:

a / sen(Â) = b / sen(B̂) = c / sen(Ĉ)

Razones Trigonométricas Básicas (en un triángulo rectángulo)

Sea φ un ángulo agudo, Cateto Opuesto (CO), Cateto Adyacente (CA), Hipotenusa (H):

• sen(φ) = CO / H
• tg(φ) = CO / CA
• cos(φ) = CA / H

Relación Pitagórica: H² = CO² + CA²

Áreas de Figuras Planas

Triángulo

• Fórmula básica: A = (base * altura) / 2
• Fórmula de Herón (usando el semiperímetro p):
  • p = (a + b + c) / 2
  • A = √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]

Rombo

A = (Diagonal Mayor * Diagonal Menor) / 2

Rectángulo

A = largo * ancho

Polígonos Regulares

• Número de diagonales: n(n - 3) / 2 (donde n es el número de lados)
• Área con apotema: A = (Perímetro * apotema) / 2
• Ángulo interno (î): î = (n - 2) * 180° / n
• Ángulo central (σ): σ = 360° / n

Hexágono Regular

A = 6 * Área del Triángulo Equilátero (que lo compone)

Volumen y Área de Cuerpos Geométricos

Prisma

• Volumen: Volumen = Área_Base * altura
• Área Total (para un prisma de base cuadrada de lado l y altura h): Área Total = 2l² + 4lh

Cilindro

• Área Total: Área Total = 2πr(h + r)
• Volumen: Volumen = πr²h

Esfera

• Área: Área = 4πr²
• Volumen: Volumen = (4/3)πr³

Cono

• Área Lateral: Área Lateral = πrg (donde g es la generatriz o altura inclinada)
• Volumen: Volumen = (1/3)πr²h

Pirámide

• Área Total: Área Total = Área_Base + Área_Lateral (donde Área_Lateral = (Perímetro_Base * apotema_pirámide) / 2)
• Volumen: Volumen = (1/3) * Área_Base * altura

Nota: La relación entre la apotema de la pirámide (g), la altura (h) y el radio de la base (r) es g² = h² + r².

Estadística Descriptiva

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

• Media (X̄): X̄ = Σ(X_i * f_i) / Σf_i (para datos agrupados o con frecuencias)
• Varianza (σ²): σ² = [Σ(X_i² * f_i) / Σf_i] - X̄²
• Desviación Típica (σ): σ = √σ²
• Coeficiente de Variación (CV): CV = σ / X̄

Ejercicios Prácticos

Ejercicio 1: Edades de Estudiantes

Valores de las edades de los estudiantes:

17, 17, 18, 19, 18, 20,

20, 17, 18, 18, 19, 19,

21, 20, 21, 19, 18, 18,

19, 21, 20, 20