Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística: Ejercicios Resueltos

Conceptos Esenciales de Probabilidad y Estadística

A continuación, se presentan una serie de afirmaciones y problemas relacionados con la teoría de la probabilidad y la estadística, abordando propiedades de variables aleatorias, técnicas de conteo y cálculo de probabilidades de sucesos.

1. Propiedades de Variables Aleatorias Lineales

   Dada la variable aleatoria X y la variable aleatoria Y = X - b, entonces:

   • Ninguna de las anteriores es correcta: V[Y] = V[X] + b², E[X] = E[X] + b, E[Y²] = E[X²].

   (Nota: Para Y = X - b, la varianza V[Y] = V[X] y la esperanza E[Y] = E[X] - b. Las opciones presentadas son incorrectas.)

2. Transformaciones Lineales de Variables Aleatorias

   Dada la variable aleatoria X y la variable aleatoria Y = X + b, entonces:

   • V[Y] = V[X] o E[Y] = E[X] + b.

   (Nota: Ambas afirmaciones son correctas propiedades de las transformaciones lineales de variables aleatorias.)

3. Varianza en Transformaciones Lineales

   Dada la variable aleatoria X y la variable aleatoria Y = aX + b, entonces:

   • V[Y] = a² · V[X].

   (Esta es una propiedad fundamental de la varianza.)

4. Técnicas de Conteo: Ordenación Total

   Conteo cuando se ordenan todos los elementos de un conjunto:

   • Permutaciones o Ninguna de las anteriores es correcta: variaciones con repetición, combinaciones con repetición, permutaciones con repetición.

5. Técnicas de Conteo: Orden y Repetición

   Conteo cuando interviene orden y hay repetición:

   • Variaciones con repetición o Ninguna.

6. Técnicas de Conteo: Sin Orden y con Repetición

   Conteo cuando no interviene orden y hay repetición:

   • Combinaciones con repetición.

7. Funciones de Distribución Continua

   Dada la figura (P4T6):

   • Se corresponde con una función de distribución de una variable aleatoria continua.

   (Asumiendo que la figura muestra una función no decreciente, con límites 0 y 1, y continua.)

8. Función de Densidad de Probabilidad

   El valor de K en la siguiente figura (P5T6) es:

   • 0.25 para que sea una función de densidad o Ninguna es correcta.

   (Para que una función sea de densidad, su integral sobre todo el dominio debe ser 1. El valor de K dependería de la forma de la función.)

9. Concepto de Esperanza Matemática

   La esperanza matemática es:

   • El valor esperado de una variable aleatoria o Ninguna de las anteriores es correcta: el momento de orden dos, la media aritmética de una variable aleatoria, una característica de las variables aleatorias discretas.

   (Nota: La esperanza matemática es sinónimo de valor esperado. Es la media aritmética de una v.a. y es el momento de orden uno, no dos. Es una característica tanto de v.a. discretas como continuas.)

10. Sucesos Independientes

    Si P(B) = P(B|A), entonces los sucesos son:

    • Independientes.

    (Esta es la definición de independencia de sucesos.)

11. Independencia y Compatibilidad de Sucesos

    Dados dos sucesos independientes se verifica que:

    • Son compatibles.

    (Si P(A)>0 y P(B)>0, entonces P(A∩B) = P(A)P(B) > 0, lo que implica que son compatibles.)

12. Regla General de la Adición de Probabilidades

    Dados dos sucesos A y B cualesquiera:

    • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) o P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

    (La primera es la regla general de la adición; la segunda es solo para sucesos independientes.)

13. Probabilidad con Suceso Nulo e Independencia

    Sean A y B dos sucesos independientes con P(A) = 0, en este caso:

    • P(A ∩ B) = 0 o P(A|B) = 0.

    (Si P(A)=0, entonces A es el suceso imposible. P(A∩B) = P(A)P(B) = 0. P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0/P(B) = 0, si P(B)>0.)

14. Cálculo de Probabilidades con Condiciones Dadas

    Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = P(B) = P(B|A) = 0.5:

    • P(A ∪ B) ≤ 1 o P(A ∪ B) < 1 o P(A ∩ B) = 0.25 o P(A ∪ B^c) = 0.25 o Ninguna es correcta.

    (Si P(B|A) = P(B), entonces A y B son independientes. P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.5 * 0.5 = 0.25. P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) = 0.5+0.5-0.25 = 0.75.)

15. Límite Superior de la Unión de Sucesos

    Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0.1 y P(B) = 0.2. En este caso:

    • P(A ∪ B) ≤ 0.3.

    (La probabilidad de la unión siempre es menor o igual a la suma de las probabilidades individuales: P(A∪B) ≤ P(A) + P(B).)

16. Probabilidad de la Unión con Complementos Independientes

    Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0.1 y P(B) = 0.2. Se suponen A^c y B^c independientes, en este caso:

    • P(A ∪ B) = 0.75 o P(A ∪ B) = 0.28 o P(A ∪ B) ≤ 0.3.

    (Si A^c y B^c son independientes, entonces P(A^c ∩ B^c) = P(A^c)P(B^c). Sabemos que P(A^c ∩ B^c) = P((A ∪ B)^c) = 1 - P(A ∪ B). Así, 1 - P(A ∪ B) = (1 - 0.1)(1 - 0.2) = 0.9 * 0.8 = 0.72. Por lo tanto, P(A ∪ B) = 1 - 0.72 = 0.28.)

17. Límite Superior de la Unión de Sucesos (Caso General)

    Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = P(B) = 0.2:

    • P(A ∪ B) ≤ 0.4 o Ninguna correcta.

    (Similar al punto 15, P(A∪B) ≤ P(A) + P(B) = 0.2 + 0.2 = 0.4.)

18. Propiedad de Independencia de Sucesos

    Sean A y B dos sucesos aleatorios independientes. A partir de B = B ∩ (A ∪ A^c) puede deducirse que:

    • A^c y B son independientes.

    (Esta es una propiedad fundamental: si dos sucesos son independientes, sus complementos también lo son con respecto al otro suceso.)

19. Sucesos Mutuamente Excluyentes y Exhaustivos

    Si se conoce que los sucesos A, B y C son mutuamente excluyentes y exhaustivos y que P(A ∪ B) = 0.6, ¿cuál de las afirmaciones es falsa?:

    • P(A) = P(B) = 0.3, obligatoriamente o P(A ∪ C) = 0.7, en todos los casos.

    (Si A, B, C son mutuamente excluyentes y exhaustivos, P(A)+P(B)+P(C)=1. Si P(A∪B)=0.6, entonces P(A)+P(B)=0.6. Esto implica P(C)=1-0.6=0.4. La afirmación "P(A)=P(B)=0.3, obligatoriamente" es falsa porque P(A) y P(B) pueden tomar otros valores cuya suma sea 0.6 (ej. P(A)=0.1, P(B)=0.5). La afirmación "P(A∪C)=0.7, en todos los casos" es también falsa, ya que P(A∪C) = P(A)+P(C) = P(A)+0.4, y P(A) no es necesariamente 0.3.)

20. Justificación de Árboles de Decisión

    La utilización de árboles de decisión (o posibilidades) se justifica por:

    • El teorema de partición o probabilidad total.

21. Definiciones de Variables Aleatorias Discretas

    Sea X una variable aleatoria de tipo discreto (o dada la variable aleatoria discreta X):

    • f(x) = P(X=x) o F(x) = P(X ≤ x) o f(x) = dF(x)/dx.

    (Las dos primeras son definiciones correctas para variables discretas: función de masa de probabilidad y función de distribución acumulada. La tercera es para variables continuas.)

22. Definición de Variables Aleatorias Continuas

    Sea X una variable aleatoria de tipo continuo (o dada una variable aleatoria X de tipo continuo):

    • f(x) = dF(x)/dx.

    (Esta es la relación entre la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulada para variables continuas.)

23. Rango de la Función de Distribución

    La función de distribución de una variable aleatoria:

    • Está comprendida entre cero y uno.

    (Por definición, una probabilidad siempre está entre 0 y 1, y la CDF es una probabilidad acumulada.)

24. Propiedad de la Función de Distribución Normal Estándar

    La función de distribución de la N(0,1) es:

    • Creciente.

    (Todas las funciones de distribución acumulada son no decrecientes. Para variables continuas con densidad positiva, son estrictamente crecientes.)

25. Función de Densidad Normal Estándar

    La función de densidad de la N(0,1) es:

    • Ninguna es correcta.

    (Esto implica que las opciones originales no eran la forma correcta de la PDF de la N(0,1).)

26. Imagen Inversa de una Variable Aleatoria

    Para una variable aleatoria X y un intervalo I se tiene que X^-1(I) es:

    • Un suceso o Un subconjunto del espacio muestral.

    (La imagen inversa de un conjunto medible en el espacio de llegada es un suceso en el espacio muestral.)

27. Problema de Probabilidad de Unión de Sucesos Independientes

    Dos conocidos están registrados en un gimnasio. Uno de ellos asiste el 75% de los días, y el otro el 25%, siendo independientes las ausencias o no de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que un día cualquiera asista al gimnasio al menos uno de ellos?

    • 0.8125.

    (Sea A el suceso "el primer conocido asiste" y B el suceso "el segundo conocido asiste". P(A)=0.75, P(B)=0.25. Como las ausencias/presencias son independientes, A y B son independientes. Se pide P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = 0.75 + 0.25 - (0.75 * 0.25) = 1 - 0.1875 = 0.8125.)