Conceptos Fundamentales de Preferencias y Utilidad en Teoría Económica

Relaciones entre Preferencias Estrictas y Débiles

Si $\succ$ es una preferencia estricta en $X$, la relación definida por $x \succeq y$ si y solo si es falso que $y \succ x$ es una preferencia débil. Además, $x \succeq y$ si y solo si $x \succ y$ o $x \sim y$, donde $\mathbf{\sim}$ es la relación de indiferencia asociada a $\succ$.

Si $\succeq$ es una preferencia débil en $X$, la relación definida por $x \succ y$ si y solo si es falso que $y \succeq x$ es una preferencia estricta. Además, $x \succ y$ si y solo si $x \succeq y$ siendo falso $x \sim y$, donde $\sim$ es la relación de indiferencia asociada a $\succeq$.

Conjuntos de Contorno y Curvas de Indiferencia

Si $\succeq$ es una preferencia débil en $X$, se definen los siguientes conjuntos para un punto $x \in X$:

• Conjunto de contorno superior (o conjunto superiormente preferido): $U(x) = \{y \in X : y \succeq x\}$.
• Conjunto de contorno inferior (o conjunto inferiormente preferido): $L(x) = \{y \in X : x \succeq y\}$.
• Curva de indiferencia: $I(x) = \{y \in X : x \sim y\}$.

Si $\succ$ es una preferencia estricta en $X$, se definen:

• Conjunto de contorno superior: $U^{\prime}(x) = \{y \in X : y \succ x\}$.
• Conjunto de contorno inferior: $L^{\prime}(x) = \{y \in X : x \succ y\}$.
• Curva de indiferencia: $I(x) = \{y \in X : x \sim y\}$.

Función de Utilidad y Derivación de Preferencias

Una función $u : X \rightarrow \mathbb{R}$ es una función de utilidad sobre $X$. Podemos definir dos relaciones binarias que contienen la información clave sobre los gustos del agente:

1. $\forall x, y \in X, x \succeq y$ si y solo si $u(x) \geqslant u(y)$. La relación $\succeq$ recoge el significado "ser mejor o igual de bueno que".
2. $\forall x, y \in X, x \succ y$ si y solo si $u(x) > u(y)$. La relación $\succ$ recoge el significado "ser mejor que".

La relación binaria $\succ$ derivada de la utilidad $u : X \rightarrow \mathbb{R}$ es una preferencia estricta. La relación binaria $\succeq$ derivada de la utilidad $u : X \rightarrow \mathbb{R}$ es una preferencia débil.

Indiferencia Derivada de la Utilidad

$x, y \in X$ se dicen indiferentes para la utilidad $u$ sobre $X$, denotado $x \mathbf{\sim} y$, si cumplen una de las siguientes definiciones equivalentes entre sí:

• $u(x) = u(y)$.
• Se cumplen a la vez $x \succeq y$ e $y \succeq x$.
• Es falso tanto $x \succ y$ como $y \succ x$.

Representación de Preferencias mediante Utilidades

La transitividad de la indiferencia asociada a una utilidad o preferencia ha sido objeto de críticas por resultar antinatural en muchos contextos. Los problemas que presenta son un reflejo del hecho de que suponerla implica asumir "demasiada" racionalidad por parte del agente. Imponemos la transitividad de la indiferencia de forma implícita cuando presumimos que el agente se comporta del modo que prescribe una preferencia o una utilidad. A continuación, estudiamos el problema de la representación de las preferencias mediante una función de utilidad. Cuando se pueda resolver este aspecto, el problema de elección del agente puede ser descrito como la maximización de una función objetivo sujeta a una restricción lineal. La solución óptima del problema del agente, cuando esta es única, proporciona la función de demanda.

Condiciones de Representabilidad

Una preferencia débil $\succeq$ en $X$ es representable si existe una función de utilidad $u$ tal que $\forall x, y \in X$, $u(x) \geqslant u(y)$ si y solo si $x \succeq y$.

Una preferencia estricta $\succ$ en $X$ es representable si existe una función de utilidad $u$ tal que $\forall x, y \in X$, $u(x) > u(y)$ si y solo si $x \succ y$.

Teorema de Representación para Conjuntos Contables

Toda preferencia (débil, $\succeq$, o estricta, $\succ$) sobre un conjunto finito o numerable $X$ admite representación por utilidad. El problema de representación de preferencias por utilidades se ha caracterizado en función de diversas propiedades de orden-densidad.

Teorema de la Unicidad de la Representación por Utilidades

La utilidad asociada a una preferencia es única salvo transformaciones estrictamente crecientes. Dicho con precisión: Si $u : X \rightarrow \mathbb{R}$ es una utilidad para $\succeq$, y $\phi : \text{Im}(u) \rightarrow \mathbb{R}$ es una aplicación estrictamente creciente, entonces $\phi \circ u : X \rightarrow \mathbb{R}$ es también utilidad para $\succeq$. Todas las utilidades que representan a $\succeq$ se obtienen, a partir de una fijada, por este proceso.