Conceptos Fundamentales de Ondas en Física

Concepto de Onda

Una onda es una perturbación que se propaga a través de un medio o del vacío, transportando energía pero no materia.

Tipos de Ondas

• Ondas Mecánicas: Necesitan un medio material (sólido, líquido o gas) para transmitirse (ej: sonido, ondas en el agua).
• Ondas Electromagnéticas: Pueden transmitirse en el vacío (ej: luz, ondas de radio).

Clasificación de Ondas

• Según la dimensión de propagación: Unidimensionales, Bidimensionales o Tridimensionales.
• Según la relación entre la dirección de propagación y la dirección de la perturbación:
  • Longitudinales: La perturbación es paralela a la dirección de propagación (ej: ondas en un muelle, sonido).
  • Transversales: La perturbación es perpendicular a la dirección de propagación (ej: ondas en una cuerda, ondas electromagnéticas).

Pulso y Tren de Ondas

• Pulso: Una perturbación instantánea que se propaga (equivale a una sola "onda").
• Tren de Ondas (Onda Viajera): Una sucesión continua de pulsos, generada por una perturbación periódica o continua.

Propagación de Ondas Mecánicas

La propagación de ondas mecánicas depende de las propiedades del medio:

• La elasticidad da lugar a la aparición de fuerzas restauradoras.
• La inercia determina la velocidad con la que se transmite la perturbación.

Velocidad de Propagación de una Onda Mecánica

En una cuerda tensa, la velocidad de propagación (v) está dada por:

v = √(T/μ)

Donde:

• T es la tensión de la cuerda.
• μ es la densidad lineal de masa (masa por unidad de longitud), μ = m/L.

Ondas Armónicas

Son ondas periódicas cuya forma es sinusoidal.

Relaciones Fundamentales

• Velocidad (v), longitud de onda (λ) y periodo (T): v = λ/T
• Velocidad (v), longitud de onda (λ) y frecuencia (f): v = λf
• Número de onda (k): k = 2π/λ
• Frecuencia angular (ω): ω = 2π/T = 2πf
• Relación entre velocidad, frecuencia angular y número de onda: v = ω/k

Ecuación de una Onda Armónica Viajera

La elongación (y) de un punto en posición x en un instante t se describe por:

Y(x,t) = A · sen(kx ± ωt + δ)

Donde:

• A es la amplitud (máxima elongación).
• k es el número de onda.
• ω es la frecuencia angular.
• δ es la fase inicial.
• El signo + se usa para ondas que viajan hacia la izquierda.
• El signo - se usa para ondas que viajan hacia la derecha.

Velocidad Transversal de una Partícula del Medio

La velocidad de una partícula del medio (no la velocidad de la onda) es la derivada de Y respecto al tiempo:

vy = ∂Y/∂t = ±Aω cos(kx ± ωt + δ)

La velocidad transversal máxima es: vy,max = ±ωA

Energía de una Onda Armónica

La energía transportada por una onda está relacionada con su amplitud y frecuencia.

Energía en una Cuerda Vibrante (Densidad Lineal de Energía)

La energía por unidad de longitud (densidad lineal de energía, dE/dx) en una onda armónica transversal en una cuerda es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia angular:

dE/dx = 1/2 μ ω2 A2

Donde μ es la densidad lineal de masa.

Potencia Transmitida

La potencia (P), que es la energía transmitida por unidad de tiempo (dE/dt), es el producto de la densidad lineal de energía y la velocidad de propagación:

P = (dE/dx) · v = 1/2 μ ω2 A2 v

Sustituyendo ω = 2πf:

P = 1/2 μ (2πf)2 A2 v = 2 μ π2 f2 A2 v

Intensidad en Ondas Esféricas

Para una fuente puntual que emite ondas en tres dimensiones (ondas esféricas), la amplitud (A) disminuye con la distancia (r) a la fuente:

A ∝ 1/r

La intensidad (I), que es la potencia por unidad de área, disminuye con el cuadrado de la distancia:

I ∝ 1/r2

La intensidad también es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia angular (y a la densidad volumétrica ρ y velocidad v):

I = 1/2 ρ ω2 A2 v

Estudio Cualitativo de las Propiedades de las Ondas

Principio de Huygens

Establece que las ondas se propagan en forma de frentes de onda. Los frentes de onda son superficies que unen puntos que se encuentran en el mismo estado de perturbación (misma fase).

El principio postula que:

Todo punto de un frente de onda al que llega una perturbación se comporta como un foco emisor de ondas secundarias (ondículas esféricas).

El nuevo frente de onda en un instante posterior es la superficie tangente a todas estas ondículas secundarias.

Reflexión

Fenómeno por el cual una onda, al incidir sobre una superficie de separación entre dos medios, regresa al medio original.

Los frentes de ondas reflejadas tienen la misma forma que los incidentes.

La ley de la reflexión establece que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

Refracción

Fenómeno por el cual una onda cambia de dirección al pasar de un medio a otro con diferente velocidad de propagación.

La dirección de la onda refractada es diferente a la de la incidente debido a la diferencia de velocidad en los dos medios.

La ley de Snell relaciona los ángulos de incidencia (i) y refracción (r) con las velocidades de la onda en los dos medios (v y v'):

sen(i) / sen(r) = v / v'

Difracción

Fenómeno en el que una onda modifica su dirección de propagación al encontrarse con un obstáculo o una abertura.

Según el principio de Huygens, las partes del frente de onda que atraviesan las aberturas se convierten en focos emisores de ondas secundarias, lo que provoca que la onda se propague en todas direcciones detrás del obstáculo o abertura.

Principio de Superposición

Cuando dos o más ondas coinciden en un punto del medio, la perturbación resultante en ese punto es la suma algebraica de las perturbaciones individuales producidas por cada onda por separado.

Este principio puede generar:

• Interferencia Constructiva: Si las perturbaciones se refuerzan mutuamente.
• Interferencia Destructiva: Si las perturbaciones se anulan mutuamente.

Interferencia entre Ondas Armónicas

Consideremos la superposición de dos ondas armónicas con la misma frecuencia (ω), amplitud (A) y número de onda (k), pero con una diferencia de fase (δ).

Si y1 = A sen(kx - ωt) y y2 = A sen(kx - ωt - δ), la onda resultante es:

Y = y1 + y2 = A [sen(kx - ωt) + sen(kx - ωt - δ)]

Usando identidades trigonométricas, se obtiene:

Y = [2A cos(δ/2)] sen(kx - ωt - δ/2)

La amplitud de la onda resultante es A' = |2A cos(δ/2)|.

Condiciones de Interferencia

• Interferencia Constructiva: Ocurre cuando las ondas llegan en fase. La diferencia de fase es un múltiplo entero de 2π (δ = 2nπ, con n entero). La amplitud resultante es máxima: A' = |2A cos(nπ)| = 2A.
• Interferencia Destructiva: Ocurre cuando las ondas llegan en oposición de fase. La diferencia de fase es un múltiplo impar de π (δ = (2n+1)π, con n entero). La amplitud resultante es mínima: A' = |2A cos((2n+1)π/2)| = 0.

Condiciones de Interferencia por Diferencia de Camino

Si la diferencia de fase se debe a una diferencia en la distancia recorrida (diferencia de camino Δr), las condiciones son:

• Constructiva: Δr = nλ (múltiplo entero de la longitud de onda).
• Destructiva: Δr = (2n+1)λ/2 (múltiplo impar de media longitud de onda).

Ondas Estacionarias

Se forman por la superposición de dos ondas viajeras idénticas que se propagan en direcciones opuestas en un medio limitado.

La ecuación de una onda estacionaria en una cuerda fija en ambos extremos puede ser:

Y(x,t) = (2A sen(kx)) cos(ωt)

La amplitud de la oscilación en cada punto x es Aestacionaria = |2A sen(kx)|.

Nodos

Son puntos donde la amplitud es siempre cero (Aestacionaria = 0). Ocurren cuando sen(kx) = 0, lo que implica kx = nπ, con n = 0, 1, 2, ...

Las posiciones de los nodos son: x = nπ/k. Sustituyendo k = 2π/λ, obtenemos x = nπ / (2π/λ) = nλ/2.

Vientres (Antinodos)

Son puntos donde la amplitud es máxima (Aestacionaria = 2A). Ocurren cuando |sen(kx)| = 1, lo que implica kx = (n + 1/2)π = (2n+1)π/2, con n = 0, 1, 2, ...

Las posiciones de los vientres son: x = (2n+1)π/(2k). Sustituyendo k = 2π/λ, obtenemos x = (2n+1)π / (2 · 2π/λ) = (2n+1)λ/4.

Frecuencias de Ondas Estacionarias en una Cuerda Fija en Ambos Extremos

Para que se forme una onda estacionaria en una cuerda de longitud L fija en ambos extremos, la longitud de la cuerda debe ser un múltiplo entero de media longitud de onda:

L = n λ/2, donde n = 1, 2, 3, ... (n es el número de "vientres" o "segmentos").

Despejando la longitud de onda: λ = 2L/n.

La frecuencia de estas ondas estacionarias (llamadas frecuencias propias o armónicos) es:

f = v/λ = v / (2L/n) = n · v/(2L)

Sustituyendo la velocidad de la onda en la cuerda v = √(T/μ):

fn = (n / 2L) √(T/μ)

Donde n=1 es la frecuencia fundamental (primer armónico), n=2 es el segundo armónico, etc.