Conceptos Fundamentales de Números Primos, Factores y la Criba de Eratóstenes

Introducción a Factores y Divisores

Todos los números que aparecen en las distintas descomposiciones de un número se llaman factores o divisores de ese número.

Algunos de estos factores se pueden descomponer a su vez como producto de números más pequeños. Les llamamos números compuestos. Otros no se pueden descomponer más, a no ser que se utilicen ellos mismos en la descomposición. Se llaman números primos.

Factorización Completa en Primos

Cuando expresamos un número como un producto de factores primos, decimos que lo hemos factorizado completamente. A este proceso se le llama factorización en primos.

Nota Importante sobre el Número 1

El 1 es divisor de cualquier número natural, pero no lo consideramos número primo.

Definiciones Clave de Divisibilidad

Definición de Divisor o Factor

Decimos que un número natural d distinto de 0 es divisor o factor de un número natural n cuando aparece en alguna de sus descomposiciones, es decir, cuando se puede escribir n = d · m, para algún m.

Se dice también en este caso que n es divisible por d, indicando que la división entera de n entre d será exacta (con resto igual a cero), o que d divide a n.

Concepto de Múltiplo

También se dice que n es múltiplo de d, haciendo referencia a que d multiplicado por algún número dará como resultado n.

Definición de Números Primos y Compuestos

Decimos que un número natural n distinto de 0 y 1 es un número primo cuando solo tiene dos divisores distintos (él mismo y el 1). En caso contrario, decimos que es un número compuesto.

Teorema Fundamental de la Aritmética (Factorización Única)

Todo número natural distinto de 0 puede escribirse como producto de números primos. Además, solo hay una forma de escribirlo, salvo reordenación de los factores:

n = p^r · q^s · . . . · z^t, donde p, q, ..., z son primos.

El Método de la Criba de Eratóstenes

La Criba de Eratóstenes es un procedimiento para encontrar todos los números primos menores que un número natural n dado. Consiste en escribir en un cuadro todos los números naturales desde el 1 hasta n. Iremos tachando los que no sean primos en el siguiente orden:

Pasos para Aplicar la Criba de Eratóstenes

1. Tachamos el 1 porque no se considera número primo.
2. Dejamos sin tachar el 2 porque es primo, aunque lo recuadramos. Tachamos su cuadrado (4) y, a partir de él, todos los números que encontremos contando de 2 en 2. De esta forma, hemos eliminado todos los múltiplos de 2.
3. Tomamos el siguiente número que queda sin tachar después del último recuadrado: será el 3. Lo recuadramos. Tachamos su cuadrado (9) y, a partir de él, todos los números que encontremos contando de 3 en 3. De esta forma, habremos eliminado todos los múltiplos de 3.
4. Se repite el proceso anterior hasta que el número que nos toque recuadrar tenga un cuadrado mayor que n.
5. Los números que en ese momento estén recuadrados serán los primos menores que n.