Conceptos Fundamentales de Números Irracionales y Técnicas de Aproximación
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Notación de Conjuntos Numéricos
Se establecen las siguientes notaciones para los conjuntos numéricos:
- $\mathbf{N}$ = Números naturales
- $\mathbf{N_0}$ = Números cardinales (o naturales incluyendo el cero, si se especifica el contexto)
- $\mathbf{Z}$ = Números enteros
- $\mathbf{Q}$ = Números racionales
Números Irracionales
Son aquellos números que no se pueden escribir como una fracción $\frac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros y $q \neq 0$.
Criterios para Identificar Números Irracionales
- Son números irracionales todas aquellas raíces enésimas, cuya cantidad subradical es un número primo.
- Son números irracionales aquellas raíces cuya cantidad subradical no es la potencia enésima de otro número natural.
- Son números irracionales aquellos números decimales que sean infinitos y no periódicos (es decir, que no tengan periodo ni semiperiodo).
El conjunto de números reales ($\mathbf{R}$) corresponde a la unión del conjunto de los números racionales ($\mathbf{Q}$) con el conjunto de los números irracionales ($\mathbf{I}$): $\mathbf{R} = \mathbf{Q} \cup \mathbf{I}$.
Aproximaciones Numéricas
Aproximar un número a cierta cifra consiste en encontrar otro número similar al valor inicial. En este procedimiento, el valor aproximado puede ser mayor o menor que el valor original.
Aproximación por Defecto
Ocurre cuando la aproximación es menor que el valor original. Por ejemplo:
$7,8453 \approx 7,8$
Aproximación por Exceso
Ocurre cuando la aproximación es mayor que el número original. Por ejemplo:
$5,9532 \approx 6$
Error de una Aproximación
El error de una aproximación corresponde al valor absoluto de la diferencia entre el número original y su aproximado. Se define el error como:
$$\text{error} = |X - X_a|$$
Ejemplo Práctico
Sea $X = 7,48$ y $X_a = 7,5$. Encuentre el error de la aproximación.
$$\text{error} = |7,48 - 7,5| = |-0,02| = 0,02$$
El error de la aproximación es de $0,02$. En este caso, la aproximación fue por exceso, ya que $7,5 > 7,48$.
Métodos para Encontrar Aproximaciones
$\rightarrow$ Truncamiento
Este método consiste en cortar un número en la cifra pedida; el resto de las cifras decimales se anulan (se vuelven cero).
Ejemplo: Aproximar el número $\sqrt{2} \approx 1,4142213562...$ a la centésima resulta en $\approx 1,41$.
$\rightarrow$ Redondeo
Este método consiste en cortar las cifras de un número analizando la cifra de la derecha de la posición a aproximar:
- Si es mayor o igual a cinco ($\geq 5$), se le suma una unidad a la cifra que se está aproximando.
- Si es menor que cinco ($< 5$), solo se corta (se mantiene la cifra anterior).
Aproximación de Números Irracionales
Existen dos métodos principales para aproximar números irracionales. En ambos casos, tenemos que recurrir a los cuadrados perfectos, que son el resultado de elevar un número natural al cuadrado ($n^2$).
Cuadrados perfectos relevantes: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, \dots$
Intervalos en la Recta Numérica Real
Son porciones de la recta numérica real que contienen infinitos números reales. Se representan de diferente manera y existen distintos tipos.
Tipos de Intervalos
Intervalo Abierto
Comprende todos los números reales ubicados entre $a$ y $b$ pero sin incluirlos. Se representa como $(a, b)$.
Intervalo Cerrado
Comprende todos los números reales ubicados entre $a$ y $b$ incluyéndolos a ambos. Se representa como $[a, b]$.
Intervalo Semiabierto (o Semidescrito)
Existen dos formas principales:
- Semiabierto por la derecha (o abierto por la izquierda): Comprende los reales entre $a$ y $b$ incluyendo solo a $a$. Se representa como $[a, b)$.
- Semiabierto por la izquierda (o abierto por la derecha): Comprende los reales entre $a$ y $b$ incluyendo solo a $b$. Se representa como $(a, b]$.
Intervalos No Acotados (Extensión)
Estos intervalos se extienden hacia el infinito positivo o negativo ($\infty$ o $-\infty$).
Intervalo Cerrado Extendido por la Derecha
Comprende a todos los números reales que sean mayor o igual a $A$. Se representa como $[A, \infty)$.
Intervalo Abierto Extendido por la Derecha
Comprende todos los números reales mayores estrictos que $A$. Se representa como $(A, \infty)$.
Intervalo Cerrado Extendido por la Izquierda
Comprende a todos los reales menores o iguales que $b$. Se representa como $(-\infty, b]$.