Conceptos Fundamentales de Movimiento Rotacional y sus Aplicaciones

Conceptos Clave del Movimiento Rotacional

Torque

El torque es el efecto que produce una fuerza aplicada sobre el centro de masa de un objeto, tendiendo a hacerlo girar.

Centro de Masa

El centro de masa es el punto en el cual se considera que toda la masa de un objeto está concentrada.

Centro de Gravedad

El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre un objeto.

Inercia de Rotación

La inercia de rotación es la propiedad de los cuerpos de permanecer en su estado de movimiento rotacional. Es decir, es la resistencia al cambio del movimiento de rotación.

Principio de Inercia de las Rotaciones

Todo cuerpo permanecerá en reposo o en movimiento rotacional uniforme alrededor de un eje fijo, a menos que una fuerza externa neta actúe sobre él.

Momento de Inercia

El momento de inercia es la medida de la inercia de un objeto o cuerpo que gira. Depende de la masa del objeto y de cómo esta se distribuye respecto al eje de rotación.

Teorema de Steiner

El teorema de Steiner (o de los ejes paralelos) permite determinar el momento de inercia de un cuerpo que gira respecto a un eje, conociendo su momento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por su centro de gravedad.

Energía Cinética Rotacional

La energía cinética rotacional es una medida escalar, medida en Joules, que depende del momento de inercia del objeto y de su velocidad angular.

Trabajo en Movimiento Rotacional

El trabajo realizado por un cuerpo en movimiento rotacional es una magnitud escalar, medida en Joules, que corresponde al producto del torque aplicado por el ángulo que describe la rotación.

Potencia Rotacional

La potencia rotacional es la rapidez de transferencia de energía y se mide en Watts.

Momento Angular

El momento angular es una magnitud vectorial que describe el estado de rotación de un cuerpo.

Impulso Angular

El impulso angular corresponde al producto del torque aplicado y el intervalo de tiempo durante el cual es aplicado el torque.

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1: Trabajo y Potencia Mecánica

Una máquina ejerce un torque de 1200 N·m para hacer girar un disco un ángulo de 120 radianes.

a) Determine el trabajo mecánico realizado.

b) ¿Qué potencia desarrolló durante el proceso?

Datos:

• Torque (τ) = 1200 N·m
• Ángulo (θ) = 120 rad
• Tiempo (Δt) = 14.4 s

Solución:

a) Trabajo mecánico (W):

W = τ × θ

W = 1200 N·m × 120 rad

W = 144,000 J

b) Potencia (P):

P = W / Δt

P = 144,000 J / 14.4 s

P = 10,000 Watts

Ejercicio 2: Cálculo de Torque

Un mecánico aplica una fuerza de 150 N a una distancia de 25 cm. ¿Cuál es el torque ejercido?

Datos:

• Fuerza (F) = 150 N
• Distancia (r) = 25 cm = 0.25 m
• Ángulo (θ) = 90° (asumiendo que la fuerza es perpendicular al brazo de palanca)

Solución:

Torque (τ) = F × r × sen(θ)

τ = 150 N × 0.25 m × sen(90°)

τ = 150 N × 0.25 m × 1

τ = 37.5 N·m

Ejercicio 3: Conservación del Momento Angular

Se hacen girar unas bolitas de 0.150 kg con una velocidad angular de 12 rad/s, atadas a una cuerda de 1 m de longitud. Si la longitud de la cuerda disminuye a 15 cm, ¿cuál es la nueva velocidad angular de rotación?

Datos:

• Masa (m) = 0.150 kg
• Velocidad angular inicial (ω₁) = 12 rad/s
• Radio inicial (r₁) = 1 m
• Radio final (r₂) = 15 cm = 0.15 m

Solución:

Se aplica el principio de conservación del momento angular (L = I × ω). Para una masa puntual, el momento de inercia (I) es m × r².

Momento angular inicial (L₁):

I₁ = m × r₁² = 0.150 kg × (1 m)² = 0.150 kg·m²

L₁ = I₁ × ω₁ = 0.150 kg·m² × 12 rad/s = 1.8 kg·m²/s

Momento angular final (L₂):

I₂ = m × r₂² = 0.150 kg × (0.15 m)² = 0.150 kg × 0.0225 m² = 0.003375 kg·m²

Por conservación del momento angular, L₁ = L₂:

1.8 kg·m²/s = I₂ × ω₂

1.8 kg·m²/s = 0.003375 kg·m² × ω₂

ω₂ = 1.8 kg·m²/s / 0.003375 kg·m²

ω₂ ≈ 533.3 rad/s

Ejercicio 4: Momento de Inercia de un Tubo Cilindrico

Calcule el momento de inercia de un tubo cilíndrico de concreto con una masa de 500 kg, radio interior de 50 cm y radio exterior de 60 cm, respecto a su eje central.

Datos:

• Masa (m) = 500 kg
• Radio interior (r₁) = 50 cm = 0.5 m
• Radio exterior (r₂) = 60 cm = 0.6 m

Solución:

La fórmula para el momento de inercia de un cilindro hueco (o tubo) respecto a su eje central es:

I = m × (r₁² + r₂²) / 2

I = 500 kg × ((0.5 m)² + (0.6 m)² ) / 2

I = 500 kg × (0.25 m² + 0.36 m²) / 2

I = 500 kg × (0.61 m²) / 2

I = 305 kg·m² / 2

I = 152.5 kg·m²

Aclaraciones Adicionales:

• I₀: Momento de inercia respecto a un punto (generalmente el origen).
• Icg: Momento de inercia respecto al centro de gravedad.
• m: Masa.
• d: Distancia entre ejes paralelos (para el Teorema de Steiner).
• τ: Torque.
• L: Longitud (en algunos contextos, puede referirse a momento lineal o angular).