Conceptos Fundamentales y Métodos de Estimación en Estadística Inferencial

Fundamentos de la Estadística Inferencial: Conceptos Clave

Definiciones Esenciales

POBLACIÓN

Conjunto de individuos o elementos que cumplen ciertas propiedades comunes.

MUESTRA

Subconjunto representativo de una población que tiene características comunes. Una muestra aleatoria es aquella tomada de la población en la que todo individuo tiene la misma probabilidad de resultar elegido para ella, y esto con independencia entre individuos.

PARÁMETRO

Función definida sobre los valores numéricos de las características medibles de una población.

ESTADÍSTICO

Función de la muestra que no depende de parámetros desconocidos. El estadístico puede considerarse como un resumen de la información suministrada por la muestra, por lo tanto, tiene objetividad.

ESTIMADOR

Se trata de un estadístico que se construye con la intención de estimar un parámetro de la población, el cual es tomado como referencia y nos permite identificar de forma objetiva las características de una muestra.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN (F)

Función que hace corresponder a cada uno de los valores de una variable aleatoria la probabilidad de que tal variable aleatoria tome un valor igual o inferior al dado.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD (f)

Función que hace corresponder a cada uno de los valores de la variable aleatoria discreta su probabilidad.

VARIABLE ALEATORIA

Toda función que toma diversos valores numéricos, dependiente de los resultados de un fenómeno aleatorio, con distintas probabilidades. Esta se divide en dos modalidades:

• Discreta: Variables que presentan un número finito de valores o constituyen una sucesión numerable.
• Continua: Variables que pueden tomar un número infinito de valores en un intervalo.

Métodos de Estimación Estadística

Formas de Estimación Paramétrica

ESTIMADORES PUNTUALES

Son aquellos que van a estimar el parámetro dando un valor concreto del mismo según las características de la población. El estimador ofrece como estimación un valor único.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

Es aquella forma de estimación de un parámetro desconocido mediante un valor aproximado máximo y mínimo, sujeta a un nivel de probabilidad $(1-\alpha)$.

CONTRASTES DE HIPÓTESIS

No podemos llamar estimación a un contraste, sino que lo que pretendemos es estudiar si un determinado parámetro poblacional toma un valor concreto, imponiendo un conjunto de reglas tendentes a decidir cuál de dos hipótesis (la nula o la alternativa) debe aceptarse en base al resultado obtenido en la muestra.

Método de los Momentos

El método consiste en comparar los momentos muestrales con los momentos poblacionales de orden $r$. Su obtención viene dada por la igualación del orden de cada uno de los momentos, estableciendo sus respectivas ecuaciones, tantos como parámetros hagan falta para su estimación. El número de momentos depende del número de parámetros a estimar.

Propiedades Deseables de un Buen Estimador

INSESGADEZ (o Imparcialidad)

El valor esperado o valor medio del estimador es igual a su parámetro. Formalmente, un estimador $\hat{\theta}$ es insesgado para un parámetro $\theta$ si $E[\hat{\theta}] = \theta$, o si su función sesgo es nula. Para su aplicación, se utiliza el Teorema Central del Límite.

CONSISTENCIA

Esta propiedad se corresponde con el tamaño de la muestra. Si aumentamos el tamaño muestral de la población de estudio, el estimador se aproxima más al parámetro desconocido. En la práctica, utilizaremos el límite de la varianza cuando tiende a infinito. Es decir, a medida que aumentamos el tamaño de la muestra, las estimaciones proporcionadas por los estimadores se aproximan más al verdadero valor del parámetro, disminuyendo el error de estimación.

SUFICIENCIA

Un estimador $\hat{\theta}$ se dice que es suficiente cuando contiene toda la información relevante que posee la muestra para estimar el parámetro desconocido.

EFICIENCIA

Un estimador $\hat{\theta}$ se dice que es eficiente cuando su varianza es mínima y, a su vez, es igual o alcanza la Cota de Fréchet-Cramér-Rao. El primer requisito es que el estimador sea insesgado y luego tener una varianza mínima, es decir, la dispersión ha de ser tan pequeña como sea posible.