Conceptos Fundamentales de Matrices y Determinantes en Álgebra Lineal

Definición de Matriz

Se llama matriz de orden n x m a toda tabla rectangular de números dispuesta en n filas y m columnas.

Conceptos Básicos de Matrices

Diagonal Principal

Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada a la formada por los elementos A_ii (aquellos donde el índice de fila i es igual al índice de columna j).

Tipos de Matrices

Matriz Cuadrada

Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas (n = m).

Matriz Nula

Es aquella matriz donde todos sus elementos son cero.

Matriz Diagonal

Es una matriz cuadrada donde todos sus elementos son nulos, excepto los de la diagonal principal, que pueden ser cero o no.

Matriz Escalar

Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales y distintos de cero.

Matriz Unidad o Identidad

Es una matriz escalar donde los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1. Se representa con la letra I.

Matriz Triangular

Es una matriz cuadrada donde todos los elementos por encima (matriz triangular inferior) o por debajo (matriz triangular superior) de la diagonal principal son cero.

Matriz Transpuesta

Dada una matriz A, su matriz transpuesta (denotada como A^T, A^t o A') es aquella que se obtiene al intercambiar sus filas por sus columnas.

Matriz Simétrica

Se dice que una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su transpuesta, es decir, A = A^t.

Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica

Se dice que una matriz cuadrada A es antisimétrica (o hemisimétrica) si coincide con su transpuesta cambiada de signo, es decir, A = -A^t. Los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son siempre cero.

Igualdad de Matrices

Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden (mismas dimensiones) y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son idénticos.

Determinantes

Se puede definir una aplicación que asigna a cada matriz cuadrada de orden n un número real. A este número se le llama determinante de la matriz A y se denota como det(A) o |A|.

Propiedades de los Determinantes

• El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta: |A| = |A^t|.
• Si una matriz tiene una fila o columna formada íntegramente por ceros, su determinante es 0.
• Si en una matriz una fila o columna está repetida (o es proporcional a otra), su determinante es cero.
• Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz se multiplican por un número k, el determinante de la nueva matriz es igual a k multiplicado por el determinante de la matriz original.
• Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas paralelas de una matriz, el valor absoluto de su determinante no cambia, pero su signo sí.

Menor Complementario y Adjunto

Dado un determinante de orden n asociado a una matriz A, se llama menor complementario del elemento a_ij al determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j de A. Se llama adjunto de a_ij (denotado como A_ij) al menor complementario de dicho elemento multiplicado por (-1)^i+j.

Teorema (Desarrollo por adjuntos)

El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) cualquiera por sus adjuntos correspondientes.

Matriz Inversa

Dos matrices cuadradas A y B de orden n son inversas la una de la otra si su producto es igual a la matriz identidad (I). La matriz inversa de A se denota como A^-1. Se cumple que: A · A^-1 = A^-1 · A = I.

Una matriz que posee inversa se llama matriz invertible o regular; en caso contrario, se denomina matriz singular (su determinante es 0).

Se puede calcular aplicando la definición, mediante el método de Gauss-Jordan o usando la fórmula A^-1 = (1/|A|) · Adj(A^t), donde Adj(A^t) es la matriz adjunta de la transpuesta de A.

Rango de una Matriz

El rango de una matriz es el número máximo de filas (rango por filas) o de columnas (rango por columnas) que son linealmente independientes. El rango por filas siempre coincide con el rango por columnas.

Ecuaciones Lineales

Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de primer grado con una o varias incógnitas. Sus incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.

Ecuaciones Equivalentes

Dos o más ecuaciones (o sistemas de ecuaciones) son equivalentes si tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones.