Conceptos fundamentales de matemáticas: operaciones, álgebra y geometría

Conceptos fundamentales de matemáticas

Jerarquía de operaciones

La jerarquía de operaciones es un método para resolver expresiones con múltiples operadores. Saber aplicarla te servirá para resolver diversos problemas de forma ordenada y correcta.

Potencias

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados base (a) y exponente (n). Se escribe a^n y se lee «a elevado a la n». Existen exponentes especiales como el 2, que se lee «al cuadrado», y el 3, que se lee «al cubo».

Lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico tiene como principal función estructurar un sistema que permita generalizar las diferentes operaciones aritméticas. Por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con escribir a + b, donde la letra a indica que es un número cualquiera del conjunto de los números.

Ley de radicales

La ley de los radicales se refiere a las reglas que relacionan raíces y potencias; permite, por ejemplo, expresar raíces como potencias fraccionarias y hallar la base a partir de la potencia y el exponente. De forma general, la raíz n-ésima de a se puede expresar como a^(1/n).

Leyes de los exponentes

Las leyes de los exponentes son el conjunto de reglas establecidas para operar con potencias. La potencia consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces. Entre las reglas fundamentales se encuentran:

• Producto de potencias con la misma base: a^m · a^n = a^(m+n).
• Cociente de potencias con la misma base: a^m / a^n = a^(m−n) (a ≠ 0).
• Potencia de una potencia: (a^m)^n = a^(m·n).
• Potencia de un producto: (ab)^n = a^n b^n.
• Exponente cero: a^0 = 1 (si a ≠ 0).
• Exponente negativo: a^(−n) = 1 / a^n (si a ≠ 0).

En la representación gráfica o tipográfica, las potencias suelen mostrarse como a^n o con superíndices.

Mínimo común múltiplo (mcm)

El mínimo común múltiplo (mcm) es el número más pequeño que es múltiplo común de dos o más números. Por ejemplo, si los múltiplos comunes de 2 y 3 son 6, 12 y 18, el mcm es 6, ya que es el menor de ellos.

Álgebra de funciones

El álgebra de funciones estudia las operaciones y propiedades que pueden aplicarse a funciones en general. Permite combinar y transformar funciones como f(x) y g(x) mediante suma, resta, producto, cociente y composición, entre otras operaciones, manteniendo reglas que facilitan su manipulación.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Es decir, si c es la hipotenusa y a y b son los catetos, entonces c² = a² + b².

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos en el plano es el módulo del vector que los une. Si los puntos son (x₁, y₁) y (x₂, y₂), la distancia viene dada por la fórmula: sqrt((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Derivadas

La derivada de una constante es igual a cero, pues dicha cantidad no varía respecto a la variable. Si A es una constante, entonces f'(x) = 0.

Teorema de Tales

El teorema de Tales es una propiedad de la geometría que indica que si se traza una línea paralela a uno de los lados de un triángulo, se obtiene un triángulo semejante al triángulo original.

Punto-pendiente

La forma punto-pendiente para la ecuación de una recta es y − y₁ = m (x − x₁). Esta forma enfatiza la pendiente m de la recta y un punto conocido (x₁, y₁) que pertenece a ella (que no sea necesariamente la ordenada en el origen).

Centro fuera del origen

Centro fuera del origen: se denomina así a una circunferencia cuyo centro se encuentra en un punto distinto del origen del sistema de coordenadas. En otras palabras, el centro está ubicado en una posición diferente al (0, 0).

Parábola

Parábola: en matemáticas, una parábola es una sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al de su generatriz. Además, se menciona que la recta o la línea recta es una entidad que se extiende en una misma dirección; por lo tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección.