Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Conceptos Fundamentales de Conjuntos

Entornos

• Entorno con centro a y radio b: E(a,b) = (a−b, a+b)
• Entorno reducido con centro a y radio b: E*(a,b) = (a−b, a) ∪ (a, a+b)

Conjuntos Acotados

• Conjunto acotado superiormente: Un conjunto A ⊂ ℝ tal que ∃k ∈ ℝ con x ≤ k, ∀x ∈ A.
• Conjunto acotado inferiormente: Un conjunto A ⊂ ℝ tal que ∃k ∈ ℝ con x ≥ k, ∀x ∈ A.
• Conjunto acotado: Un conjunto que es acotado superior e inferiormente.

Extremos de Conjuntos

• Extremo superior (Supremo) de un conjunto A: sup(A) es la menor de sus cotas superiores.
• Extremo inferior (Ínfimo) de un conjunto A: inf(A) es la mayor de sus cotas inferiores.
• Máximo de un conjunto A: max(A) = sup(A) si sup(A) ∈ A.
• Mínimo de un conjunto A: min(A) = inf(A) si inf(A) ∈ A.

Conceptos Fundamentales de Funciones

Tipos de Funciones

• Función inyectiva: ∀x₁, x₂ ∈ A, si x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂).
• Función suprayectiva: Si f : A → B ⇒ f(A) = B.
• Función biyectiva: Una función que es inyectiva y suprayectiva.

Propiedades de Funciones

• Dominio: dom(f) = A (o el máximo posible).
• Recorrido o Imagen: Im(f) = f(A) = {f(x) / x ∈ A}.
• Gráfica: gr(f) = { (x, f(x)) ∈ ℝ² / x ∈ dom(f) }.

Extremos de Funciones

• Máximo relativo: f(x) tiene un máximo relativo en x = a si existe un entorno de a tal que f(a) es la mayor de las imágenes de los puntos de ese entorno.
• Mínimo relativo: f(x) tiene un mínimo relativo en x = a si existe un entorno de a tal que f(a) es la menor de las imágenes de los puntos de ese entorno.
• Máximo absoluto: f(x) tiene un máximo absoluto en x = a si f(a) ≥ f(x), ∀x ∈ A.
• Mínimo absoluto: f(x) tiene un mínimo absoluto en x = a si f(a) ≤ f(x), ∀x ∈ A.

Funciones Acotadas

• Función acotada: Una función es acotada si su conjunto imagen es acotado.
• Función acotada superiormente: Una función está acotada superiormente si su conjunto imagen está acotado superiormente.

Otras Propiedades de Funciones

• Función par: f(x) = f(−x), ∀x ∈ dom(f).
• Función impar: f(x) = −f(−x), ∀x ∈ dom(f).
• Función periódica: f(x) = f(x + T), ∀x ∈ ℝ (donde T es el periodo).

Función Inversa

Sean A, B ⊂ ℝ y f : A → B biyectiva. Llamaremos función inversa de f(x) (f⁻¹(x)) a la función f⁻¹ : B → A tal que f⁻¹(x) = y si f(y) = x.

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Rectas

• Recta que pasa por (x₀, y₀) y (x₁, y₁) con x₀ ≠ x₁: y = y₀ + (y₁ − y₀)/(x₁ − x₀) * (x − x₀).
• Pendiente de una recta y = mx + n: m.
• Recta que pasa por (x₀, y₀) con pendiente m: y = y₀ + m(x − x₀).

Parábola

• Parábola: y = ax² + bx + c, con a ≠ 0.

Conceptos Fundamentales de Números Complejos

Definiciones Básicas

• Unidad Imaginaria: i (donde i² = −1).
• Número Complejo: Un número de la forma a + bi, donde a, b ∈ ℝ.

Operaciones con Números Complejos

• Suma: (a + bi) + (x + yi) = (a + x) + (b + y)i.
• Producto: (a + bi)(x + yi) = (ax − by) + (ay + bx)i.

Propiedades de Números Complejos

• Conjugado de z = x + yi: z = x − yi.
• Módulo de z = x + yi: |z| = √(x² + y²).
• Argumento de z: arg z = { θ ∈ ℝ / z = |z|(cos θ + i sin θ) }.
• Exponencial compleja: e^(x+iy) = e^x (cos y + i sin y).

Formas de Representación de Números Complejos

• Forma binómica: z = x + iy, con x, y ∈ ℝ.
• Forma trigonométrica: z = |z|(cos θ + i sin θ), con θ ∈ arg z.
• Forma exponencial: z = |z|e^(iθ), con θ ∈ arg z.
• Forma polar: |z|∠θ, con θ ∈ arg z.

Coordenadas de Números Complejos

• Coordenadas cartesianas: (x, y), donde x = Re z, y = Im z.
• Coordenadas polares: (ρ, θ), donde ρ = |z|, θ ∈ arg z.
• Argumento principal: Arg z = (−π, π] ∩ arg z.

Conceptos Fundamentales de Matrices

Operaciones Elementales por Filas

Llamaremos operaciones elementales sobre las filas de una matriz a las siguientes:

1. Multiplicar una fila de la matriz por un número real o complejo no nulo.
2. Intercambiar dos filas de la matriz.
3. Sumar a una fila otra multiplicada por un número.

Matriz Elemental

Matriz elemental: La obtenida efectuando una sola operación elemental sobre la matriz identidad.

Matrices Escalonadas

Llamaremos matriz escalonada a la que cumple las siguientes condiciones:

1. Si tiene filas nulas, son las últimas.
2. La primera posición no nula de una fila está al menos una columna a la derecha de la primera posición no nula de la fila anterior.

En una matriz escalonada, si una fila tiene elementos no nulos, al primero de ellos lo llamaremos pivote. Al lugar que ocupa lo llamaremos posición principal.

Matriz Escalonada Reducida

Una matriz es escalonada reducida si cumple las tres condiciones siguientes:

1. Es escalonada.
2. Los pivotes son unos.
3. Cada columna que contenga a un pivote tiene esta entrada como única no nula.