Conceptos Fundamentales de Lógica Deductiva y Proposicional

Introducción a la Lógica

El estudio de la Lógica puede considerarse como ciencia en dos sentidos: uno amplio y otro restringido. A la lógica en sentido restringido se la denomina Lógica Deductiva Elemental.

La lógica estudia los razonamientos deductivos y los métodos para distinguir los razonamientos válidos de los inválidos.

Ayuda a razonar de forma válida acerca de las cosas trascendentes y abstractas, aporta claridad y economía en el pensamiento y permite eliminar ambigüedades en el lenguaje ordinario.

Proposición

Se denomina proposición a las oraciones que poseen una función informativa, afirman o niegan algo, y de las cuales tiene sentido decir que son verdaderas o falsas.

Razonamiento

Es un conjunto de proposiciones (dos o más) en el que una de ellas, llamada conclusión, se pretende que esté fundada en las otras, llamadas premisas.

Razonamiento Deductivo

Los razonamientos pueden dividirse en dos grandes grupos: los deductivos y los no deductivos.

• Razonamientos Deductivos: Se pretende que la conclusión se deduzca de las premisas.
• Razonamientos No Deductivos: La conclusión se infiere con cierto grado de probabilidad, no con necesidad.

Razonamientos Válidos

Un razonamiento válido puede tener premisas verdaderas y conclusión verdadera; o premisas falsas y conclusiones verdaderas o falsas. Lo que no podrá ocurrir es que un razonamiento sea válido si tiene premisas verdaderas y conclusión falsa.

Lógica Proposicional

Es la parte de la lógica que se basa en proposiciones, las cuales pueden ser simples o compuestas.

• Proposición Simple: Cuando no incluye dentro de sí a ninguna otra proposición.
• Proposición Compuesta: Cuando surge de la combinación de proposiciones simples.

Operaciones Lógicas

Dada una o dos proposiciones cuyos valores de verdad se conocen, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. Las principales operaciones son:

• Negación
• Conjunción
• Disyunción (incluyente y excluyente)
• Implicación
• Doble Implicación / Bicondicional

Clasificación de Proposiciones Compuestas

La tabla de valores de verdad permite clasificar a las estructuras proposicionales en tres grupos:

• Tautología: Toda proposición compuesta que resulta verdadera en todos los casos, independientemente de los valores de verdad que correspondan a las proposiciones simples intervinientes. Ej: p → (p ∨ q)
• Contradicción: Toda proposición compuesta que resulta falsa en todos los casos, independientemente de los valores de verdad que correspondan a las proposiciones simples intervinientes. Ej: (p ∧ q) ∧ ¬p
• Contingencia: Toda proposición compuesta cuya tabla de verdad tiene por lo menos un valor verdadero (V) y un valor falso (F). Ej: ¬p → q

Equivalencia Lógica

Dos proposiciones son lógicamente equivalentes (o simplemente equivalentes) si tienen las mismas tablas de verdad.

Leyes Lógicas

En el cálculo proposicional se utilizan las siguientes leyes lógicas, cuya demostración se reduce a la confección de las correspondientes tablas de valores de verdad:

• Involución
• Idempotencia
• Conmutatividad
• Asociatividad
• Distributiva

Leyes de De Morgan

Estas leyes abordan la negación de:

• Una disyunción
• Una conjunción

Negación de una Implicación

Es equivalente a la conjunción del antecedente con la negación del consecuente.

Funciones Proposicionales

En una variable o indeterminada x, se refiere a toda oración en la que figura x como sujeto u objeto directo, la cual se convierte en proposición para cada especificación de x.