Conceptos Fundamentales de Límites, Continuidad y Derivadas en Cálculo

Límites y Continuidad

1. El límite de una función en +∞ (más infinito) indica el comportamiento de la función para valores de x "muy grandes".
2. Si una función es continua en x=c, se deben cumplir tres condiciones: que exista la función en ese punto (f(c)), que existan y sean iguales los límites laterales de f(x) en x=c, y que el valor de la función en x=c coincida con el valor del límite.
3. El límite cuando x tiende a +∞ de una función polinómica de grado 5 con el coeficiente director negativo es -∞ (menos infinito).
4. El límite de una función en un punto por la derecha indica el comportamiento de la función en los alrededores de dicho punto, acercándose por valores mayores a él.
5. Si el límite cuando x tiende a 2 de f(x) es +∞, entonces la función f(x) tiene una asíntota vertical en x=2.
6. Para que una función racional tenga una asíntota oblicua, es necesario que el grado del polinomio del numerador sea exactamente una unidad mayor que el grado del polinomio del denominador.
7. El límite cuando x tiende a -∞ de una función polinómica de grado 5 con el coeficiente director negativo es +∞ (más infinito).
8. El límite de una función en un punto indica el comportamiento de la función en los alrededores de dicho punto.
9. El límite cuando x tiende a +∞ de f(x)/g(x), siendo f(x) una función polinómica de grado 2 y g(x) una función polinómica de grado 3, es 0.
10. Una discontinuidad en un punto puede ser evitable o inevitable. La inevitable, a su vez, se clasifica en discontinuidad de salto finito y de salto infinito.
11. El límite cuando x tiende a +∞ de 1/f(x), siendo f(x) una función polinómica de grado 2, es 0.
12. Una discontinuidad de salto finito es un tipo de discontinuidad inevitable donde los límites laterales existen, son finitos, pero tienen valores distintos.
13. La función "parte entera de x", también conocida como función escalonada, es un ejemplo de función definida a trozos.
14. Si el límite cuando x tiende a +∞ de f(x) es 2, entonces la función f(x) tiene una asíntota horizontal en y=2.
15. El límite cuando x tiende a +∞ de una función polinómica de grado 4 con el coeficiente director negativo es -∞ (menos infinito).
16. En una función definida a trozos, para calcular los límites en los "puntos de ruptura" es necesario calcular los límites laterales. Dicha función puede ser continua si estos límites coinciden con el valor de la función en el punto.

Derivadas

1. La función f(x) = tan(x) es creciente en cada intervalo de su dominio y presenta asíntotas verticales.
2. La función f(x) = x² - 5x + 6, que representa una parábola cóncava hacia arriba, tiene un mínimo absoluto.
3. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.
4. La derivada de la función f(x) = cos(x) es f'(x) = -sin(x).
5. La derivada de la función f(x) = cos(5x+2), aplicando la regla de la cadena, es f'(x) = -5sin(5x+2).
6. Si la primera derivada de una función en un intervalo es positiva, la función en ese intervalo es creciente.
7. Si para una función derivable en c se cumple que f'(c) = 0, significa que la recta tangente en ese punto es horizontal y, por tanto, su pendiente es 0. Estos puntos se conocen como puntos críticos.
8. La derivada de la función g(x) = x / (x² - 2) es g'(x) = (-x² - 2) / (x² - 2)².
9. La derivada de la función f(x) = ln(x) es f'(x) = 1/x.
10. La función f(x) = ln(x) tiene una asíntota vertical en x=0 y es creciente en todo su dominio.
11. Una función polinómica puede tener puntos singulares (máximos, mínimos o puntos de inflexión), pero no tiene asíntotas.

12. Contexto histórico: La controversia de los infinitesimales

    Las críticas iniciales a los trabajos de Newton y Leibniz sobre el cálculo se centraron en la falta de rigor matemático de la época para formalizar ciertos conceptos. Principalmente, no se entendía el concepto de "infinitesimal" (una cantidad infinitamente pequeña pero no nula) ni la diferencia fundamental entre tender a cero y ser cero.

13. Una función racional puede tener puntos singulares y, a diferencia de las polinómicas, puede presentar asíntotas horizontales, verticales u oblicuas.