Conceptos Fundamentales de Límites, Asíntotas y Continuidad de Funciones

Límites de Funciones

Límite de una función en un punto

Es el valor al que tiende la función cuando la variable independiente se aproxima a ese punto. Si una función no está definida en un punto, aún así podría calcularse el límite en ese punto.

Para que una función tenga límite en un punto x₀, debe cumplirse que existan los límites laterales y sean iguales.

Límites laterales

Son los valores a los que se aproxima la función cuando la variable independiente se acerca a un punto por la derecha o por la izquierda.

Cálculo de límites a partir de la expresión analítica

El primer paso es sustituir el valor al que tiende la variable independiente (x) en la expresión de la función.

Indeterminaciones en el cálculo de límites

Si al sustituir obtenemos una expresión indeterminada, debemos aplicar métodos específicos para resolverla:

Indeterminación K/0 (K≠0)

El límite tiende a infinito (±∞). Es necesario calcular los límites laterales para determinar el signo del infinito y si el límite global existe.

Indeterminación 0/0

Si se presenta esta indeterminación, se pueden aplicar diferentes métodos:

• Si es un cociente de polinomios y tanto el numerador como el denominador se anulan en el punto, significa que el punto es una raíz común. Se factorizan los polinomios (por ejemplo, usando Ruffini) y se simplifica el factor común.
• Si la expresión contiene raíces (radicales), se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que causa la indeterminación (normalmente en el numerador o denominador).

Indeterminación ∞/∞

Para resolverla, se pueden usar los siguientes métodos:

• Dividir cada término del numerador y del denominador por la máxima potencia de la variable presente en la expresión.
• Regla práctica para cocientes de polinomios P(x)/Q(x) cuando x tiende a ±∞:
  • Si grado(P(x)) > grado(Q(x)), el límite es ±∞.
  • Si grado(P(x)) = grado(Q(x)), el límite es el cociente de los coeficientes principales.
  • Si grado(P(x)) < grado(Q(x)), el límite es 0.

Indeterminación ∞ - ∞

Métodos comunes para resolverla:

• Si se trata de una resta de fracciones algebraicas, buscar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores para operar las fracciones y simplificar.
• Si la expresión contiene raíces, multiplicar y dividir por el conjugado.

Indeterminación 1^∞

Esta indeterminación está relacionada con el número 'e'. Se busca transformar la expresión a la forma (1 + 1/f(x))^f(x) cuando f(x) tiende a ±∞, cuyo límite es 'e'.

Asíntotas de una Función

Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica de la función se acerca indefinidamente.

Asíntotas Verticales (AV)

Una función f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si el límite de f(x) cuando x tiende a 'a' (por la derecha, por la izquierda o por ambos lados) es infinito (±∞). Los puntos candidatos a asíntota vertical son aquellos que anulan el denominador de una función racional, pero siempre es necesario verificar el límite en dichos puntos.

Asíntotas Horizontales (AH)

Una función f(x) tiene una asíntota horizontal en y=k si el límite de f(x) cuando x tiende a +∞ o -∞ es un valor finito 'k'.

Asíntotas Oblicuas (AO)

Una función puede tener asíntota oblicua si no tiene asíntota horizontal (aunque hay excepciones). La asíntota oblicua es una recta de la forma y = mx + n, donde los valores de 'm' y 'n' son finitos y se calculan mediante límites:

• m = lim_x→±∞ [f(x)/x]
• n = lim_x→±∞ [f(x) - mx]

Continuidad de Funciones

Intuitivamente, una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

Definición Formal de Continuidad en un Punto

Una función f(x) es continua en un punto x=a si se cumplen tres condiciones:

1. La función está definida en 'a', es decir, f(a) existe.
2. El límite de la función cuando x tiende a 'a' existe (los límites laterales son iguales y finitos).
3. El límite de la función cuando x tiende a 'a' es igual al valor de la función en 'a', es decir, lim_x→a f(x) = f(a).

Continuidad en un Intervalo

Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto de dicho intervalo.

Estudio de la Continuidad

Para estudiar la continuidad de una función, especialmente si es definida a trozos, se debe analizar la continuidad en cada 'trozo' o subintervalo y, de manera crucial, en los puntos donde cambia la definición de la función (puntos críticos).

Discontinuidades

Cuando una función no es continua en un punto, decimos que presenta una discontinuidad en ese punto. Las discontinuidades se clasifican en varios tipos:

Discontinuidad Evitable

Ocurre en un punto x=a si el límite de la función cuando x tiende a 'a' existe y es finito, pero f(a) no existe o, existiendo, es diferente al valor del límite.

Discontinuidad No Evitable

Se subdivide en:

Discontinuidad de Primera Especie con Salto Finito

Los límites laterales en el punto x=a existen y son finitos, pero son diferentes entre sí.

Discontinuidad de Primera Especie con Salto Infinito

Al menos uno de los límites laterales en el punto x=a es infinito (±∞).

Discontinuidad de Segunda Especie

Ocurre en un punto x=a si al menos uno de los límites laterales en 'a' no existe.