Conceptos Fundamentales de Juegos en Forma Normal y Equilibrio de Nash
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Conceptos Fundamentales en Teoría de Juegos
Definición 4.1. Juego en Forma Normal o Estratégica
Un juego en forma normal o estratégica es una terna (I, X, π) donde:
- I = {1, 2, . . . , n} es un conjunto finito de agentes; si n > 2, hay posibilidad de coaliciones.
- X = X1 × · · · × Xn, donde Xi es la familia de posibles estrategias (opciones) para el agente i-ésimo. Cada estrategia xi ∈ Xi es un plan de juego completo. Esto quiere decir que cualquiera podría jugar en lugar del agente i-ésimo si conociera dicha estrategia.
- π = (π1, . . . , πn), donde πi : X → R es la función de pago del agente i-ésimo, y π : X → Rn es la función de pagos conjunta o total. Para cada agente, la función de pago representa lo que obtiene dicho agente si las posibles elecciones o estrategias de todos los agentes son conocidas. Para cada x = (x1, . . . , xn) ∈ X, π(x) es el vector de pagos.
Definición 4.2. Juego Finito
Se dice que el juego (I, X, π) es finito si Xi es finito para cada i ∈ I.
Definición 4.5. Estrategia Estrictamente Dominada
La estrategia xi para el jugador i está estrictamente dominada por la estrategia x'i si:
πi (x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn) < πi (x1, . . . , xi−1, x'i, xi+1, . . . , xn)
para cualesquiera x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, . . . , xi−1 ∈ Xi−1, xi+1 ∈ Xi+1, . . . , xn ∈ Xn.
Definición 4.6. Estrategia Débilmente Dominada
La estrategia xi para el jugador i está (débilmente) dominada por la estrategia x'i si:
πi (x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn) ≤ πi (x1, . . . , xi−1, x'i, xi+1, . . . , xn)
para cualesquiera x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, . . . , xi−1 ∈ Xi−1, xi+1 ∈ Xi+1, . . . , xn ∈ Xn, y
πi (x'1, . . . , x'i−1, xi, x'i+1, . . . , x'n) < πi (x'1, . . . , x'i−1, x'i, x'i+1, . . . , x'n)
para algún x'1 ∈ X1, x'2 ∈ X2, . . . , x'i−1 ∈ Xi−1, x'i+1 ∈ Xi+1, . . . , x'n ∈ Xn.
Además, para juegos bipersonales se tienen las siguientes particularizaciones:
- a.- La estrategia x1 para el jugador 1 está estrictamente dominada por la estrategia x'1 si ∀ x2 ∈ X2 se tiene π1 (x1, x2) < π1 (x'1, x2).
- b.- La estrategia x2 para el jugador 2 está estrictamente dominada por la estrategia x'2 si ∀ x1 ∈ X1 se tiene π2 (x1, x2) < π2 (x1, x'2).
- c.- La estrategia x1 para el jugador 1 está débilmente dominada por la estrategia x'1 si ∀ x2 ∈ X2 se tiene π1 (x1, x2) ≤ π1 (x'1, x2) y π1 (x1, x'2) < π1 (x'1, x'2) para algún x'2 ∈ X2.
- d.- La estrategia x2 para el jugador 2 está débilmente dominada por la estrategia x'2 si ∀ x1 ∈ X1 se tiene π2 (x1, x2) ≤ π2 (x1, x'2) y π2 (x'1, x2) < π2 (x'1, x'2) para algún x'1 ∈ X1.
Definición 4.7. Equilibrio de Nash
Una estrategia conjunta x = (x1, . . . , xn) ∈ X es un equilibrio de Nash (E.N. en forma abreviada) si ∀i ∈ I, ∀x'i ∈ Xi, se tiene πi (x) ≥ πi (x1, . . . , xi−1, x'i, xi+1, . . . , xn), es decir, si πi(xi, x-i) ≥ πi(x'i, x-i) para todo x'i ∈ Xi.
Definición 4.8. Función Cuasi-Cóncava
Una función f : C → R, donde C es un conjunto convexo, es cuasi-cóncava si f (λx + (1 − λ) y) ≥ mín { f (x), f (y)} ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
Definición 4.9. Función Cuasi-Cóncava en la Componente i-ésima
Una función f : X → R, donde X = X1 × · · · × Xn, es cuasi-cóncava en la componente i-ésima para x = (x1, . . . , xn) ∈ X si la función fx-i : Xi → R es cuasicóncava.
Teorema 4.1 (Nash (1951))
Todo juego que satisfaga las siguientes propiedades:
- Xi es un subconjunto compacto y convexo de Rhi, i = 1, . . . , n,
- πi es continua, i = 1, . . . , n,
- πi es cuasi-cóncava en la componente i-ésima xi, para cada i = 1, . . . , n y cada x = (x1, . . . , xn) ∈ X
tiene algún Equilibrio de Nash (E.N.).
Definición 4.11. Pareto Óptimo
Una estrategia conjunta x = (x1, . . . , xn) ∈ X es Pareto óptimo si no existe x' ∈ X que mejore Paretianamente a x, esto es, tal que πi (x') ≥ πi (x) ∀i = 1, . . . , n y πj (x') > πj (x) para algún j.