Conceptos Fundamentales de Geometría: Proporcionalidad, Semejanza y Transformaciones

Proporcionalidad

Se denomina razón al resultado de la comparación de dos cantidades (términos). Se llama proporción a la igualdad de dos razones (a/b = c/d).

Cuarto Proporcional

El segmento X que es el cuarto proporcional a tres segmentos conocidos (a/b = c/x).

Tercero Proporcional

Se denomina proporción continua aquella en la que los medios o los extremos se repiten (a/b = b/c).

Medio Proporcional

Cuando en una proporción continua se desconoce el término repetido (medio proporcional) (a/x = x/b) o (x² = ab).

Semejanza Geométrica

Cuando tienen sus ángulos iguales y lados proporcionales. La razón de semejanza es la relación que guardan los puntos y líneas que están en la misma dirección relativa.

Criterios de Semejanza de Triángulos

• Dos ángulos de uno son iguales a dos del otro.
• Tienen un ángulo igual formado por lados proporcionales.
• Tienen sus lados homólogos proporcionales.

Criterios de Semejanza de Polígonos

• Se componen del mismo número de triángulos semejantes de dos en dos e igualmente dispuestos.
• Sabemos que todos los lados —excepto uno en cada polígono— son proporcionales de dos en dos e iguales.
• Todos los ángulos —excepto uno del primero— son iguales respectivamente a otros tantos del segundo, y los lados que forman estos ángulos —excepto los del exceptuado— son proporcionales.

Igualdad Geométrica

Dos figuras son iguales cuando sus lados y sus ángulos son iguales y están igualmente dispuestos.

Equivalencia Geométrica

Las figuras que tienen la misma expansión (es una magnitud). La superficie es el conjunto abarcado por la forma de la figura. El área es la medida de la extensión de la superficie.

Simetría Geométrica

Dos figuras son simétricas respecto a un punto (centro de simetría) o a una recta (eje de simetría) cuando al girar una de ellas alrededor del centro o del eje, coincide con la otra. Se distingue entre simetría central (respecto a un punto) y simetría axial (respecto a un eje).

Transformaciones Geométricas

Una transformación es una correspondencia entre dos elementos de un conjunto cualquiera.

Traslación

Los vectores equipolentes son iguales en dirección, magnitud y sentido. En toda traslación:

• La figura transformada de una recta es otra recta paralela a ella.
• La figura transformada de un ángulo es otro ángulo igual (congruente con él).
• Cualquier figura poligonal se transforma en otra igual.
• La figura transformada de un círculo es otro círculo igual a él y cuyo centro es el transformado del centro de aquel en la traslación.

Una recta paralela al vector de traslación se transforma en sí misma.

Giro o Rotación

En todo giro:

• La figura transformada de una recta es otra recta.
• La figura transformada de una circunferencia es otra circunferencia igual y cuyo centro es el girado del centro de la primera. El producto de dos rotaciones del mismo centro es otra rotación del mismo dicho centro.

Homotecia

Cuando dos figuras se corresponden punto a punto y recta a recta, de forma que parejas de puntos homólogos estén en línea recta con un punto fijo (centro de homotecia). En las figuras homotéticas, las rectas homólogas son paralelas, por lo que son semejantes.

• La razón de homotecia es positiva (***homotecia directa***).
• La razón es negativa (***homotecia inversa***).

Tangencias

Una recta y una circunferencia o dos circunferencias son tangentes cuando tienen un solo punto en común.

Propiedades de las Tangencias

• Si dos circunferencias son tangentes, el punto T (de tangencia) está en la línea de centros.
• Si una recta es tangente a una circunferencia, el punto T es el pie de la perpendicular trazada por el centro O a la recta tangente.