Conceptos Fundamentales de Geometría: Hipotenusa, Semejanzas y Mínimos Comunes Múltiplos

La Hipotenusa y los Catetos

La hipotenusa (lado del triángulo que no forma un ángulo de 90°) es igual (=) a la suma de los catetos al cuadrado. Los catetos son los lados del triángulo que forman un ángulo de 90°.

Ejemplo

El cuadrado (número multiplicado por sí mismo 2 veces) se ejemplifica así: 5² = 5 x 5.

Conociendo la Altura de una Figura

Para conocer la altura de una figura, de la cual tenemos 3 datos (1 de la figura cuyo valor de altura queremos conocer y 2 de otra figura o de la misma figura en diferente orientación), se acomoda en fracción la base de mayor valor y la de menor valor abajo. En la otra fracción, la altura desconocida va arriba y la altura menor abajo. Se hace una regla de tres, por lo tanto, multiplicamos cruzado.

Ejemplo de Cálculo

Ahora multipliquemos: 5² = 25 | 5 x 2 = 10. Y ahora sumamos 25 + 10 = 35. Por lo tanto, x = 5.

Semejanzas y Congruencias

Semejanzas

Figuras iguales pero en diferente tamaño y posición.

Congruencias

La figura es exactamente igual a la original (no importa la posición).

La Razón de Semejanza

Este es tu barco y sus medidas de punto a punto son las siguientes:

• Del punto A al punto B: 2 cm
• Del punto B al punto C: 1 cm
• Del punto C al punto A: 3 cm

Mínimo Común Múltiplo

Aquí se puede notar que el mínimo común múltiplo de 20 y 18 es 180.

Máximo Común Divisor

En el máximo común divisor, se busca el número más grande posible en común que sea posible dividir en ambos. Ejemplo:

• 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, (15), 20, 30, 60
• 45: 1, 3, 5, (15), 45

En esta recta se puede ver que el mínimo común divisor de 45 y 60 es 15. ¿Por qué? Porque el 15 es el número más grande que es posible dividir entre 60 y 45.

Área del Cuadrado

Área del cuadrado = 25.

Valor de (c):

• 1 x 1 = 1 (por lo tanto, (c) no es igual a 1)
• 2 x 2 = 4 (por lo tanto, (c) no es igual a 2)
• 3 x 3 = 9 (por lo tanto, (c) no es igual a 3)
• 4 x 4 = 16 (por lo tanto, (c) no es igual a 4)
• 5 x 5 = 25 (aquí coincide con el valor del área de nuestro cuadrado, por lo que (c) es igual a 5)

El Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor

El mínimo común múltiplo es la cantidad mínima en la que la multiplicación de 2 números distintos coincide. Ejemplo:

• 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, (180), 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380

Regla de Tres y Cálculo de Incógnitas

En otro caso, en el cual son 2 datos conocidos y 2 incógnitas con el mismo valor, sería lo mismo (base mayor entre base menor). Ahora no importa la posición, pues la operación sería la misma. En la otra fracción, altura mayor entre altura menor. Primero se multiplican los 2 datos que ya conocemos para, del resultado, conseguir las incógnitas.

Ejemplo de Ecuación

Si el resultado de ambos datos, supongamos 5 y 7, es igual a 35, entonces la ecuación sería la siguiente: x² + 2x = 35. Con esto ya podemos buscar cantidades, entre ellas el 5. Hagamos la ecuación de nuevo pero con el dato que conseguimos: 5² + (5 x 2) = 35.

Teorema de Pitágoras

¿Cómo saber el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo?

Muy fácil, si tenemos la medida de los catetos (a y b) de nuestro triángulo, que serían (a = 3) y (b = 4), solo hay que multiplicar los datos (a y b) al cuadrado (2) y sumarlos para así obtener el área del cuadrado formado sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo. En caso de que quieras conocer el valor de (c), solo hay que sacar la raíz cuadrada del área del cuadrado que conocimos su valor anteriormente.

Ejemplo de Razonamiento de Semejanza

Supongamos que hay otro barco que se ve igual pero más grande. Comprobémoslo:

• Del punto A al punto B: 4 cm
• Del punto B al punto C: 2 cm
• Del punto C al punto A: 6 cm

¿Cuál es la razón de semejanza? Si dividimos cada uno de los puntos con su correspondiente punto, nos daremos cuenta que la razón de semejanza es 2:1, es decir, 2 veces mayor al original. Pero, ¿qué pasaría si fuese al revés? Comprobémoslo:

• Del punto A al punto B: 1 cm
• Del punto B al punto C: 0.5 cm
• Del punto C al punto A: 1.5 cm

Si dividimos cada punto con su correspondiente pareja, nos daremos cuenta que la razón de semejanza es de 0.5:1, es decir, la mitad de su tamaño original.