Conceptos Fundamentales de Geometría en el Espacio: Vectores, Rectas y Planos

Dependencia e Independencia Lineal de Vectores

Dos vectores son independientes si el rango de la matriz que forman es 2 y son dependientes si su rango es 1.

Tres vectores son independientes si el rango de la matriz que forman es 3 y son dependientes si su rango es 1 o 2.

Puntos Coplanarios y Alineados

Los puntos son coplanarios si el rango de los vectores {AB, AC, AD} es 2.

Los puntos están alineados si el rango de los vectores {AB, AC, AD} es 1.

La Recta en el Espacio

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial

  x = a + λ·v → (x,y,z) = (a₁,a₂,a₃) + λ·(v₁,v₂,v₃)

• Ecuación Paramétrica

  x = a₁ + λ·v₁

  y = a₂ + λ·v₂

  z = a₃ + λ·v₃

• Ecuación Implícita (como intersección de planos)

  Ax + By + Cz = D

  A'x + B'y + C'z = D'

Relaciones de Incidencia y Perpendicularidad con Rectas

• Incidencia de un Punto y un Plano

  Un punto está en un plano si verifica su ecuación.

• Recta que Pasa por un Punto y es Perpendicular a un Plano

  Dado un plano Ax + By + Cz = D, el vector normal (perpendicular) a este plano es n(A,B,C). Este vector n será el vector director de la recta buscada.

• Recta Perpendicular Común a Dos Rectas

  Para encontrar la recta que corta perpendicularmente a dos rectas dadas (por ejemplo, r y s):

  1. Ponemos las dos rectas en forma paramétrica.
  2. Sacamos un punto genérico (A en r y B en s) y un vector director (u para r y v para s) de cada una.
  3. Formamos el vector AB que une los dos puntos genéricos.
  4. Establecemos la condición de perpendicularidad:
     • AB es perpendicular a u → AB · u = 0
     • AB es perpendicular a v → AB · v = 0
  5. Resolvemos el sistema de ecuaciones para los parámetros de A y B.
  6. Sustituimos estos parámetros en los puntos A y B para obtener sus coordenadas específicas.
  7. Calculamos la ecuación de la recta que une los dos puntos A y B obtenidos.

El Plano en el Espacio

Ecuaciones del Plano

• Ecuación Vectorial

  x = a + λ·u + μ·v →

  (x,y,z) = (a₁,a₂,a₃) + λ·(u₁,u₂,u₃) + μ·(v₁,v₂,v₃)

• Ecuación Paramétrica

  x = a₁ + λ·u₁ + μ·v₁

  y = a₂ + λ·u₂ + μ·v₂

  z = a₃ + λ·u₃ + μ·v₃

• Ecuación Implícita (General o Cartesiana)

  Ax + By + Cz = D

  También se puede obtener a partir del determinante:

  | x-a1  y-a2  z-a3 |
  | u1      u2      u3      | = 0
  | v1      v2      v3      |

• Ecuación Normal del Plano

  n · PX = 0 → (A,B,C) · (x-p₁,y-p₂,z-p₃) = 0

  Que se desarrolla como:

  A·(x-p₁) + B·(y-p₂) + C·(z-p₃) = 0

Relaciones de Incidencia y Paralelismo con Planos

• Pertenencia de un Punto a un Plano

  Un punto pertenece a un plano si verifica su ecuación.

• Plano Paralelo a Otro

  La ecuación del plano que pasa por el punto A(a₁,a₂,a₃) y es paralelo al plano Ax + By + Cz = D es:

  A·(x-a₁) + B·(y-a₂) + C·(z-a₃) = 0

• Plano que Contiene una Recta y un Punto

  Para hallar la ecuación de un plano que contiene una recta r y un punto A (que no pertenece a r):

  Hallamos en la recta r un punto B y un vector director v. Así, tenemos el punto A y los vectores directores del plano: u = AB y v.