Conceptos Fundamentales de Geometría en el Espacio: Rectas, Planos y Posiciones Relativas

Ecuación NORMAL DEL PLANO- A(x-a1) + B(y-a2) + C(z-a3)+D=0

POSICIONES 2 PLANOS-

rg(M)=rg(M')=1--planos coincidentes //  rg(M)=1 < rg(m')="2">planos paralelos //  rg(M)=rg(M')=2 -

Planos secantes (se cortan en 1 recta q será los 2 planos)

POSICIONES 3 PLANOS-

rg(M)=rg(M')=1 --
3 planos coincidentes //rg(M)=1 rg(M')=2 --
3 planos paralelos / 2 planos coincidentes. (estudiar 2 a 2) // rg(M)=rg(M')=2 --
2 coincidentes y el otro los corta / 3  se cortan en 1 recta // rg(M)=2 rg(M')=3 --
forman un prisma / 2 paralelos y el otro los corta // rg(M)=rg(M')=3 --

3 planos forman un triedro

POSICIONES RECTA-PLANO (sustituyes x y z de la recta en x y z del plano) // si 0=0 --
Recta contenida en el plano // si 15=0 --
recta paralela al plano // si λ=nº --

Recta corta al plano en 1 pto - (sustituyes λ en la recta y te da el pto)

POSICIONES 2 RECTAS-

M' ahora en la ultima columna es b-a y el resto de columnas son vectores

// rg(M)=rg(M')=1 --
rectas coincidentes // rg(M)=1 rg(M')=2 --
rectas paralelas // rg(M)=rg(M')=2 --

Rectas secantes (para calcular el pto sustituyes x de una recta en x d otra recta)

// rg(M)=2 rg(M')=3 --

Rectas se cruzan (no se cortan)

PUNTOS ALINEADOS-3 ptos están alineados si los vectores AB y AC son prporcionales. Si lo son están alineados

PUNTOS COPLANARIOS-3 ptos forman un plano.
4 ptos  no sabemos. Para saberlo hay q calcular el plano de los 3 de los 4 ptos y comprobar si el 4 pertenece.

PROYECCIÓN ORTOGONAL  PUNTO (P) - PLANO (Π) -

1.-

Se comprueba si P pertenece a π (sustituyendo P en π) se da distinto de 0 no pertenece al plano.

2.-

Se calcula la recta perepndicular  a π q pasa por P con el vector nomal 3.-
El punto Pπ es la intersección de la recta anterior con el plano  π

PROYECCIÓN PUNTO - RECTA -

1.-

Se comprueba si P pertenece a r sustituyendo P en r si sale distinto de 0 no pertenece a r

2.-

Se calcula el plano perpendicular a r q pasa por P. El vector de r es el vector normal por lo tanto ya tengo A B C (D lo calculas con el pto q te dan)

3.-

El Pr será el resultado  de calcular y resolver el sistema de r y π

 PROYECCIÓN RECTA-PLANO -

1.-

Se comprueba si r no pertenece al plano y se calcula el pto de intersección  Aπ 2.-
Se coge un pto de la recta (B) y se hace la proyección sobre le plano y da  Bπ. Para ello calculas la recta q va de B al plano (con el vector normal) y calculas el pto de intersección resolviendo x y z de la recta en el plano.

3.-

Con Aπ Y Bπ Hago la ecc de la recta

PTO SIMÉTRICO RESPECTO DE UN PLANO-

1.-

Se comprueba si P no pertenece a π 2.-
Con el vector normal y P se calcula la recta y con ella el pto de intersección del plano (pto medio)

3.-

Hago la formula del pto medio sustituyendo en cada caso.

PTO SIMÉTRICO RESPECTO UNA RECTA-

1.-

Se comprueba si P no pertenece a r 2,-
Se calcula Pπ, pero antes calculas el plano con el vector director de la recta (q es el vector nomal del plano). De ahí sacas A B C y con el pto sustituyes y sale D 3.-
Hago la fórmula del pto medio sustituyendo en cada caso