Conceptos Fundamentales de Geometría Espacial: Planos, Rectas y Puntos

Planos que pueden contener a uno y a dos puntos

Infinitos planos. Para demostrarlo en primaria, podemos usar una libreta, donde la anilla representa los puntos y el gusanillo la recta que pasa por ellos.

Determinación de un plano por tres puntos

Tres puntos no alineados están siempre en un mismo plano, ya que un plano está determinado precisamente por tres puntos no alineados.

Planos que contienen rectas

Una recta dada puede estar contenida en infinitos planos (ejemplo: una libreta). Un único plano puede contener a dos líneas que se intersecan o a dos líneas paralelas a la vez. Para demostrarlo, se pueden usar la mesa o la pizarra como planos y dos bolígrafos como líneas.

¿Cuántos planos determinan tres líneas concurrentes no coplanarias?

Determinan tres planos. Basta con mostrar el suelo y las dos paredes de un aula en forma de ortoedro como ejemplo. Otro ejemplo son las caras laterales de un tetraedro. (Ver dibujo).

¿Cuántos planos determinan cuatro líneas, si tres de ellas no son coplanarias?

Si tres de ellas no son coplanarias, cada par de líneas forma un plano distinto. Las combinaciones posibles son (r1 y r2, r1 y r3, r1 y r4, r2 y r3, r2 y r4, r3 y r4). Basta tomar las aristas laterales de un aula en forma de ortoedro como ejemplo. (Ver dibujo).

¿Cuántos planos pueden contener a una recta dada y a un punto exterior a ella?

Un único plano. Una recta está definida por dos puntos. Un punto exterior a la recta, junto con los dos puntos que definen la recta, forman tres puntos no alineados. Dado que un plano está definido por tres puntos no alineados, solo existe un plano que contenga a la recta y al punto exterior.

Número máximo de caras triangulares en un vértice de un poliedro regular

El número máximo es 5 caras triangulares. Una propiedad de los ángulos poliedros es que la suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice debe ser menor de 360º. Dado que el ángulo interior de un triángulo equilátero es 60º, 360º / 60º = 6. Sin embargo, con 6 caras se formaría un ángulo plano (360º), lo cual no es posible en un vértice de un poliedro. Por lo tanto, el máximo es 5.

Número máximo de caras cuadradas en un vértice de un poliedro regular

El número máximo es 3 caras cuadradas. La suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice de un poliedro debe ser menor de 360º. Dado que el ángulo interior de un cuadrado es 90º, 360º / 90º = 4. Con 4 caras se formaría un ángulo plano (360º), lo cual no es posible en un vértice de un poliedro. Por lo tanto, el máximo es 3.

¿Puede un poliedro convexo tener el mismo número de vértices y aristas?

No. Un poliedro euleriano (convexo) debe verificar la fórmula de Euler: C + V = A + 2, donde C es el número de caras, V el de vértices y A el de aristas. Si V = A, la fórmula se simplifica a C + V = V + 2, lo que implica C = 2. Esto es imposible, ya que no existe ningún poliedro con solo dos caras.

Posiciones relativas de rectas paralelas a un plano

No necesariamente. Las rectas paralelas a un mismo plano pueden ser paralelas entre sí, cortarse o cruzarse en el espacio. Basta con usar la pizarra como plano y dos lápices para mostrar estas posibilidades.

Posiciones relativas de dos rectas perpendiculares a una tercera recta

Si dos rectas A y B son perpendiculares a una tercera recta C en el espacio, A y B pueden cruzarse, cortarse o ser paralelas entre sí. (Se pueden ilustrar con dibujos: 1º cruzar, 2º cortar, 3º paralelas. La recta C sería la de en medio en la ilustración).

Rectas y planos que pasan por un punto exterior a un plano dado

Dado un punto a que no está en el plano M:

• ¿Cuántas rectas paralelas al plano M se pueden trazar por a? Infinitas rectas.
• ¿Y cuántos planos paralelos al plano M pasan por a? Solo uno.

Planos determinados por cuatro puntos no coplanarios

Se pueden determinar cuatro planos distintos. Basta tomar como referencia un tetraedro, cuyos vértices son los cuatro puntos no coplanarios. Cada cara del tetraedro (formada por tres puntos no alineados) representa uno de los planos. (Se puede dibujar el tetraedro marcando sus vértices para ilustrarlo).