Conceptos Fundamentales de Geometría: Ángulos, Triángulos y Circunferencias

Introducción a la Geometría Básica

Posiciones Relativas de Rectas

Paralelas:

No tienen ningún punto en común.

Secantes:

Tienen un punto en común. Si dividen al plano en cuatro partes iguales, son perpendiculares.

Clasificación de Ángulos

Para clasificar los ángulos, se toma como referencia qué parte del plano ocupan.

Nulo (0º):

La abertura del ángulo es nula y sus dos lados coinciden.

Completo (360º):

El ángulo se abre hasta que sus lados coinciden de nuevo.

Llano (180º):

Es la mitad del ángulo completo. Sus dos lados forman una línea recta.

Recto (90º):

Es la mitad del ángulo llano. Sus lados son perpendiculares.

Agudo (<90º):

El ángulo es menor que el ángulo recto.

Obtuso (>90º):

El ángulo es mayor que uno recto y menor que uno llano.

Convexo (<180º):

El ángulo es menor que uno llano. Los ángulos agudos, rectos y obtusos son convexos.

Cóncavo (>180º):

El ángulo es mayor que uno llano.

Ángulos según sus Posiciones Recíprocas

Ángulos consecutivos:

Dos ángulos son consecutivos cuando tienen el mismo vértice y un lado común; es decir, uno se construye a continuación del otro.

Ángulos complementarios:

Dos ángulos son complementarios cuando, al situarlos de forma consecutiva, forman un ángulo recto.

Ángulos suplementarios:

Dos ángulos son suplementarios cuando, al situarlos de forma consecutiva, forman un ángulo llano.

Ángulos opuestos por el vértice:

Dos ángulos son opuestos por el vértice si sus lados forman parte de las mismas rectas. Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Posiciones Relativas de una Recta y una Circunferencia

Recta exterior:

Ningún punto en común.

Recta tangente:

Un punto en común.

Recta secante:

Dos puntos en común.

Posiciones Relativas de Dos Circunferencias

En las figuras, d es la distancia entre los centros de dos circunferencias: la mayor de radio R y la menor de radio r.

Concéntricas:

(d = 0)

Interiores:

(0 < d < R - r)

Tangentes interiores:

(d = R - r)

Secantes:

(R - r < d < R + r)

Tangentes exteriores:

(d = R + r)

Exteriores:

(d > R + r)

Propiedades y Cálculos con Triángulos

Ejemplos de Cálculos con Ángulos

A = 60º : 2 = 30º

La suma de los ángulos de un triángulo es siempre igual a un ángulo llano:

 + B + Ĉ = 180º

Si en un triángulo, un ángulo mide 42º y el otro 38º, el tercer ángulo mide: 180º - 42º - 38º = 100º.

Clasificación de Triángulos

Equiláteros:

Los tres lados iguales.

Isósceles:

Dos lados iguales.

Escaleno:

Los tres lados distintos.

Acutángulo:

Los tres ángulos agudos.

Rectángulo:

Un ángulo recto y dos agudos.

Obtusángulo:

Un ángulo obtuso y dos agudos.

Puntos Notables del Triángulo

Medianas y Baricentro:

Las medianas de un triángulo son los segmentos que unen cada uno de sus vértices con el punto medio del lado opuesto. Se cortan en un punto llamado baricentro.

Alturas y Ortocentro:

Las alturas de un triángulo son los segmentos que van desde cada uno de sus vértices al lado opuesto —o su prolongación— de forma perpendicular. Se cortan en un punto interior llamado ortocentro.

Mediatrices y Circuncentro:

Las mediatrices de los tres lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo.

Bisectrices e Incentro (Circunferencia Inscrita):

Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita, la cual es tangente a los tres lados del triángulo.

Tipos de Medidas

Las medidas pueden ser directas cuando se realizan con un instrumento de medida, o indirectas, cuando se calculan a partir de medidas directas aplicando fórmulas matemáticas.