Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica Vectorial y Rectas

Operaciones Fundamentales con Vectores

Producto Escalar de Dos Vectores

El producto escalar entre dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{e}$ se define como: $$\vec{a} \cdot \vec{e} = |\vec{a}| \cdot |\vec{e}| \cdot \cos(\theta)$$ donde $\theta$ es el ángulo entre ellos.

Operaciones con Componentes

• Producto Escalar (Componentes): Si $\vec{u} = (a, b)$ y $\vec{v} = (c, d)$, entonces: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot c + b \cdot d$$ El resultado es un **escalar (número)**.
• Módulo de un Vector: El módulo del vector $\vec{u} = (a, b)$ es: $$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Argumento de un Vector

Para un vector $\vec{u} = (3, 4)$: $$\tan(\alpha) = \frac{4}{3} \implies \alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$$

Proyección Vectorial

La proyección de $\vec{u}$ sobre $\vec{e}$ (la componente de $\vec{u}$ a lo largo de $\vec{e}$): $$\cos(\alpha) = \frac{\text{proy}_{\vec{e}}(\vec{u})}{|\vec{u}|} \implies \text{proy}_{\vec{e}}(\vec{u}) = |\vec{u}| \cdot \cos(\alpha)$$

Ecuaciones de la Recta en el Plano

Sea una recta definida por un punto $P_0 = (x_0, y_0)$ y un vector director $\vec{d} = (d_1, d_2)$.

Ecuación Vectorial

$$\vec{r}(t) = (x, y) = (x_0, y_0) + t(d_1, d_2)$$

Ecuación Paramétrica

$$\begin{cases} x = x_0 + t d_1 \\ y = y_0 + t d_2 \end{cases}$$

Ecuación Continua

Se obtiene despejando $t$ de las ecuaciones paramétricas: $$\frac{x - x_0}{d_1} = \frac{y - y_0}{d_2}$$

Ecuación General o Implícita

Se obtiene a partir de la continua, eliminando denominadores: $$(x - x_0)d_2 = (y - y_0)d_1 \implies d_1 y - d_2 x + (d_2 x_0 - d_1 y_0) = 0$$ Generalmente se expresa como $Ax + By + C = 0$.

Ecuación Explícita

Se despeja $y$: $$y = mx + n$$ Donde la pendiente es $m = -A/B$ o $m = d_1/d_2$, y la ordenada al origen es $n = -C/B$.

Punto Pendiente

$$y - y_0 = m(x - x_0)$$

Ecuación Canónica (o Segmentaria)

Si la recta corta a los ejes en $p$ (eje $x$) y $q$ (eje $y$): $$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$$

Posición Relativa de las Rectas en el Plano

Las posiciones relativas principales son:

1. Paralelas
2. Secantes (se cortan en un punto)
3. Coincidentes (son la misma recta)

Haz de Rectas

Un conjunto de rectas que pasan por un punto común se representa mediante una ecuación tipo: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$

Distancias y Ángulos

Distancia entre Dos Rectas ($R$ y $S$)

• Si son secantes o coincidentes: $d(R, S) = 0$.
• Si son paralelas: $d(R, S)$ es la distancia entre un punto $P$ de $R$ y la recta $S$.

Distancia entre un Punto $P$ y una Recta $R$

Sea $R: Ax + By + C = 0$ y $P = (x_p, y_p)$.

1. Fórmula Directa: $$d(P, R) = \frac{|A x_p + B y_p + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ Si $P$ pertenece a $R$, entonces $d(P, R) = 0$.
2. Método Geométrico (Segunda Forma):
   1. Calcular la recta $T$ perpendicular a $R$ que pasa por $P$ ($P \in T$).
   2. Calcular el punto de corte $Q = T \cap R$.
   3. La distancia es $d(P, R) = |\vec{PQ}|$.

Ángulos entre Dos Rectas

Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son los vectores directores de las rectas: $$\cos(\theta) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \implies \theta = \arccos\left(\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\right)$$

Elementos Notables de un Triángulo

• Altura: Recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. El punto de concurrencia es el ortocentro.
• Mediana: Recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
• Mediatriz: Recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio.
• Bisectriz: Recta que divide un ángulo en dos partes iguales.

Cálculo de Puntos y Segmentos

Punto Medio de un Segmento

Si el segmento une $A=(a, b)$ y $C=(c, d)$, el punto medio $M$ es: $$M = \left(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2}\right)$$

Simetrías

1. Simetría de un punto respecto a otro punto: Si $P'=(x', y')$ es simétrico de $P=(a, b)$ respecto a $C=(c, d)$, entonces $C$ es el punto medio de $PP'$.
2. Simetría de un punto respecto a una recta ($S$):
   1. Calcular la recta $T$ perpendicular a $S$ que pasa por el punto $P$ ($P \in T$).
   2. Hallar el punto de corte $Q = T \cap S$.
   3. El punto simétrico $P'$ se halla usando que $Q$ es el punto medio de $PP'$.
3. Simetría de una recta ($R$) respecto a otra recta ($S$):
   • Si $R$ y $S$ son paralelas: Se toma un punto $P \in R$, se halla su simétrico $P'$ respecto a $S$. La recta simétrica $R'$ pasa por $P'$ y es paralela a $R$ (y a $S$).
   • Si $R$ y $S$ son secantes: El punto de corte $Q = R \cap S$ es fijo. Se toma un punto $P \in R$ ($P \neq Q$), se halla su simétrico $P'$ respecto a $S$. La recta simétrica $R'$ es la recta que pasa por $Q$ y $P'$.
   • Si $R$ y $S$ son coincidentes: $R' = R = S$.

Lugares Geométricos

Definición: Conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Ejemplo: la mediatriz.

Circunferencia

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro $(a, b)$ con radio $R$: $$d((x, y), (a, b)) = R$$ La ecuación es: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$

Posición de la Recta y la Circunferencia

Sea la recta $R: Ax + By + C = 0$ y la circunferencia $C: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

1.ª Forma (Resolución del Sistema)

Se resuelve el sistema de ecuaciones. El número de soluciones indica la posición:

• No tiene solución: La recta es exterior a la circunferencia.
• Una solución (tangente): La recta es tangente ($d=R$).
• Dos soluciones (secantes): La recta es secante ($d

2.ª Forma (Uso de la Distancia)

Se calcula la distancia $d$ del centro de la circunferencia $(a, b)$ a la recta $R$: $$d = \frac{|A a + B b + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

• Si $d > R$: La recta es exterior.
• Si $d = R$: La recta es tangente.
• Si $d < R$: La recta es secante.