Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica Plana

Vectores en el Plano

• Argumento de un vector (α): Si el vector es v = (x, y), su argumento es el ángulo que forma con el eje OX positivo. tan(α) = y/x.
• Vector entre dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂): AB = B - A = (x₂ - x₁, y₂ - y₁). Este vector puede ser el vector director de una recta.
• Producto escalar de dos vectores u y v: u · v = |u| |v| cos(α), donde α es el ángulo entre los vectores.
• Expresión analítica del producto escalar: Si u = (x₁, y₁) y v = (x₂, y₂), entonces u · v = x₁x₂ + y₁y₂.
• Cálculo del ángulo (α) entre dos vectores: cos(α) = (u · v) / (|u| |v|) = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁² + y₁²) √(x₂² + y₂²)).
• Vector perpendicular (normal): Dado un vector v = (a, b), un vector perpendicular n es n = (-b, a) o n = (b, -a). Ejemplo: si v = (3, 5), entonces n = (-5, 3) o n = (5, -3).

Rectas en el Plano

• Pendiente de una recta (m) que pasa por A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂): m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
• Rectas paralelas y perpendiculares:
  • Paralelas: Tienen la misma pendiente (m₁ = m₂). Si sus vectores directores son v₁ y v₂, estos son proporcionales.
  • Perpendiculares: El producto de sus pendientes es -1 (m₁ · m₂ = -1), siempre que las rectas no sean verticales u horizontales. Si sus vectores directores son v₁ = (a, b) y v₂ = (c, d), su producto escalar es cero (v₁ · v₂ = ac + bd = 0).
• Posición relativa de dos rectas (r: Ax + By + C = 0 y s: A'x + B'y + C' = 0):
  • Secantes: Se cortan en un punto. A/A' ≠ B/B'.
  • Paralelas: No se cortan. A/A' = B/B' ≠ C/C'.
  • Coincidentes: Son la misma recta. A/A' = B/B' = C/C'.

Distancias y Ángulos

• Distancia entre dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂): d(A, B) = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).
• Distancia de un punto P(x₀, y₀) a una recta r (Ax + By + C = 0): d(P, r) = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).
• Ángulo (α) entre dos rectas r (Ax + By + C = 0) y s (A'x + B'y + C' = 0): Se calcula usando sus vectores normales n=(A, B) y n'=(A', B') o sus vectores directores. Con los normales: cos(α) = |n · n'| / (|n| |n'|) = |A·A' + B·B'| / (√(A² + B²) · √(A'² + B'²)).
• Punto medio M de un segmento con extremos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂): M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2).

Puntos y Rectas Notables del Triángulo

Mediatrices y Circuncentro

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

El circuncentro es el punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita.

Cálculo del Circuncentro:

1. Calcular el punto medio de un lado (ej., AB).
2. Calcular la pendiente de la recta que contiene al lado AB.
3. Determinar la pendiente de la mediatriz (perpendicular a AB).
4. Usar la ecuación punto-pendiente con el punto medio y la pendiente de la mediatriz para hallar su ecuación general.
5. Repetir los pasos 1-4 para otro lado (ej., AC).
6. Resolver el sistema de ecuaciones formado por las dos mediatrices para encontrar las coordenadas del circuncentro.

Bisectrices e Incentro

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales.

El incentro es el punto donde se cortan las tres bisectrices interiores de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita.

Ecuación de las Bisectrices de dos rectas r (Ax+By+C=0) y s (A'x+B'y+C'=0):

Un punto P(x, y) pertenece a una bisectriz si equidista de ambas rectas:

|Ax + By + C| / √(A² + B²) = |A'x + B'y + C'| / √(A'² + B'²)

Al quitar los valores absolutos, se obtienen dos ecuaciones que corresponden a las dos bisectrices (una interior y otra exterior al ángulo formado por las rectas).

Cálculo del Incentro:

1. Hallar las ecuaciones de dos bisectrices interiores del triángulo (eligiendo el signo adecuado en la fórmula anterior).
2. Resolver el sistema formado por estas dos ecuaciones para encontrar las coordenadas del incentro.

Alturas y Ortocentro

La altura de un triángulo respecto a un lado es la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto.

El ortocentro (O) es el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.

Cálculo del Ortocentro:

1. Calcular la pendiente del lado AB.
2. Determinar la pendiente de la altura relativa a AB (perpendicular a AB).
3. Usar la ecuación punto-pendiente con el vértice opuesto (C) y la pendiente de la altura para hallar su ecuación general (recta h<0xE1><0xB5><0xA_C>).
4. Repetir los pasos 1-3 para otro lado (ej., AC) y su altura correspondiente (recta h<0xE1><0xB5><0xA_B>, que pasa por B).
5. Resolver el sistema de ecuaciones formado por las dos alturas (h<0xE1><0xB5><0xA_C> y h<0xE1><0xB5><0xA_B>) para encontrar las coordenadas del ortocentro.

Área de un Triángulo

Método Base por Altura:

1. Elegir un lado como base (ej., AB) y calcular su longitud: b = d(A, B).
2. Hallar la ecuación de la recta (r) que contiene a la base AB.
3. Calcular la altura (h) como la distancia desde el vértice opuesto (C) a la recta r: h = d(C, r).
4. Calcular el área: Área = (b × h) / 2.

Método por Coordenadas (Determinante):

Si los vértices son A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃):

Área = (1/2) |det(AB, AC)| = (1/2) |(x₂ - x₁)(y₃ - y₁) - (x₃ - x₁)(y₂ - y₁)|

O también:

Área = (1/2) |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

La Circunferencia

Ecuaciones de la Circunferencia

• Ecuación Ordinaria (o Canónica): Centro C(a, b), radio R: (x - a)² + (y - b)² = R²
• Ecuación con Centro en el Origen C(0, 0): x² + y² = R²
• Ecuación General: x² + y² + Dx + Ey + F = 0. A partir de esta, se puede obtener el centro y el radio:
  • Centro: C(-D/2, -E/2)
  • Radio: R = √( (D/2)² + (E/2)² - F ) (Siempre que la expresión dentro de la raíz sea positiva).

Posición Relativa de dos Circunferencias

Dadas dos circunferencias con centros C₁, C₂ y radios R₁, R₂, se calcula la distancia d = d(C₁, C₂) entre sus centros.

• Exteriores: No tienen puntos en común y una está fuera de la otra. d > R₁ + R₂
• Tangentes Exteriores: Tienen un punto en común y una está fuera de la otra. d = R₁ + R₂
• Secantes: Tienen dos puntos en común. |R₁ - R₂| < d < R₁ + R₂
• Tangentes Interiores: Tienen un punto en común y una está dentro de la otra. d = |R₁ - R₂| (y d ≠ 0)
• Interiores: No tienen puntos en común y una está dentro de la otra. d < |R₁ - R₂|
• Concéntricas: Tienen el mismo centro. d = 0

Cónicas

La Elipse

Ecuaciones de la Elipse

• Ecuación Reducida (Centro en Origen):
  • Focos en eje OX: x²/a² + y²/b² = 1 (con a > b)
  • Focos en eje OY: x²/b² + y²/a² = 1 (con a > b)
• Ecuación con Centro C(h, k):
  • Eje focal paralelo a OX: (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1 (con a > b)
  • Eje focal paralelo a OY: (x - h)²/b² + (y - k)²/a² = 1 (con a > b)

Relación fundamental: a² = b² + c² (donde 'a' es la longitud del semieje mayor y 'c' la semidistancia focal)

Elementos:

• Centro: C(h, k) o C(0, 0)
• Vértices Principales (A, A'): Extremos del eje mayor. Distancia al centro = a.
• Vértices Secundarios (B, B'): Extremos del eje menor. Distancia al centro = b.
• Focos (F, F'): Puntos fijos. Distancia al centro = c. La suma de distancias desde cualquier punto de la elipse a los focos es constante e igual a 2a.
• Eje Mayor: Longitud 2a.
• Eje Menor: Longitud 2b.
• Distancia Focal: Distancia entre los focos, 2c.
• Excentricidad: e = c/a (0 ≤ e < 1). Mide el achatamiento de la elipse (e=0 es una circunferencia).

La Hipérbola

Ecuaciones de la Hipérbola

• Ecuación Reducida (Centro en Origen):
  • Focos en eje OX: x²/a² - y²/b² = 1
  • Focos en eje OY: y²/a² - x²/b² = 1
• Ecuación con Centro C(h, k):
  • Eje focal paralelo a OX: (x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1
  • Eje focal paralelo a OY: (y - k)²/a² - (x - h)²/b² = 1

Relación fundamental: c² = a² + b² (donde 'c' es la distancia del centro al foco)

Elementos:

• Centro: C(h, k) o C(0, 0)
• Vértices Reales (A, A'): Intersección con el eje focal. Distancia al centro = a.
• Focos (F, F'): Puntos fijos. Distancia al centro = c. El valor absoluto de la diferencia de distancias desde cualquier punto de la hipérbola a los focos es constante e igual a 2a.
• Eje Real (o Transverso): Segmento AA', longitud 2a.
• Eje Imaginario (o Conjugado): Longitud 2b.
• Distancia Focal: Distancia entre los focos, 2c.
• Excentricidad: e = c/a (e > 1). Mide cuán abiertas están las ramas de la hipérbola.
• Asíntotas (para centro C(h, k)): Son rectas a las que se aproxima la hipérbola.
  • Eje focal paralelo a OX: y - k = ±(b/a)(x - h)
  • Eje focal paralelo a OY: y - k = ±(a/b)(x - h)