Conceptos Fundamentales de Funciones Vectoriales y Límites en Varias Variables

Conceptos Fundamentales de Funciones Vectoriales

Manteniendo la notación anterior, llamaremos dominio de f al conjunto de puntos de ℝⁿ que tienen imagen por f, es decir, a C:

Dom(f) = {x ∈ ℝⁿ; ∃f(x)}

Nótese que el dominio de una función vectorial es la intersección del dominio de sus proyecciones:

Dom(f) = ∩_i=1^p Dom(f_i)

Recorrido de una función

Definición: Llamaremos recorrido de f al conjunto Im(f), es decir, al conjunto de puntos de ℝ^p que tienen antiimagen por la función.

Curvas de nivel

Definición: Dada una función real de n variables g: C → ℝ (C ⊆ ℝⁿ) y un número real k, se denomina curva de nivel k de la función g al conjunto de puntos de C que tienen como imagen k.

Límites en Funciones de Varias Variables

Definición formal de límite

Definición: Sea f: C → ℝ^q una función definida en un conjunto C ⊆ ℝ^p y sea a ∈ ℝ^p un punto de acumulación de C. Se dice que l ∈ ℝ^q es el límite de f en el punto a, y lo denotaremos lím_x→a f(x) = l, si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ C - {a}, tal que d(x, a) < δ se verifica que d(f(x), l) < ε.

Es decir, si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que x ∈ B(a, δ) ∩ C ⇒ f(x) ∈ B(l, ε).

Ejemplo práctico

Por ejemplo, la función f: ℝ² → ℝ, f(x, y) = x + y tiene límite l = 0 en el punto a = (0, 0). En efecto, dado ε > 0 tomando δ < ε/2 tendríamos que si d((x, y), (0, 0)) = √(x² + y²) < δ < ε/2, entonces |x| < ε/2, |y| < ε/2, y por tanto d(f(x, y), 0) = |x + y| < ε.

Criterio de Cauchy

Proposición: Sea f: C → ℝ^p una función definida en un conjunto C ⊆ ℝⁿ y sea a ∈ ℝⁿ un punto de acumulación de C. Entonces lím_x→a f(x) = l ∈ ℝ^p si y sólo si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀x, x' ∈ B(a, δ) ∩ C, d(f(x), f(x')) < ε.

Funciones acotadas

Definición: Se dice que f: C → ℝ está acotada en C ⊆ ℝⁿ si existe k ∈ ℝ tal que |f(x)| < k para x ∈ C. Una función vectorial g: C → ℝ^p está acotada si lo están todas sus proyecciones g₁, . . . , g_p.

Límites reiterados

Definición: Sea f: C → ℝ una función definida en un conjunto C ⊆ ℝ² y sea (a, b) ∈ ℝ² un punto de acumulación de C. Se llama límite reiterado de f cuando x tiende a a primero e y tiende a b después, a lím_y→b lím_x→a f(x, y), si este límite existe.

Definición: Sean f: C → ℝ una función definida en un conjunto C ⊆ ℝⁿ y a ∈ ℝⁿ un punto de acumulación de C.