Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas: Propiedades y Traslaciones

Funciones Polinómicas de Primer Grado (Lineales)

Forma general: $f(x) = mx + n$.

El parámetro $m$ representa la pendiente (inclinación) de la recta.

Comportamiento según la Pendiente ($m$)

• Si $m > 0$, la función es creciente.
• Si $m < 0$, la función es decreciente.
• Si $m = 0$, la función es constante ($f(x) = n$).

Tipos Específicos

• Función Lineal General: $m eq 0$.
• Función de Proporcionalidad Directa: $m eq 0$ y $n = 0$ ($f(x) = mx$).
• Función Constante: $m = 0$.

Funciones Polinómicas de Segundo Grado (Cuadráticas)

Forma general: $y = ax^2 + bx + c$. Su gráfica es una parábola.

Vértice de la Parábola

La coordenada $x$ del vértice se calcula mediante la fórmula:

$$x_v = \frac{-b}{2a}$$

Orientación y Extremos

• Si $a > 0$, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.
• Si $a < 0$, la parábola abre hacia abajo y el vértice es un máximo.

Posición del Vértice respecto al Eje Y

• Si $a$ y $b$ tienen el mismo signo, el vértice se encuentra a la izquierda del eje $Y$.
• Si $a$ y $b$ tienen distinto signo, el vértice se encuentra a la derecha del eje $Y$.

Funciones Racionales

Forma típica de la hipérbola de traslación: $f(x) = \frac{K}{x - a} + B$.

Nota: Los parámetros $a$ y $B$ definen las asíntotas.

Asíntotas y Traslaciones

• Asíntota Vertical (AV): $x = a$.
• Asíntota Horizontal (AH): $y = B$.

Comportamiento según el parámetro K

• Si $K > 0$: La función es decreciente en sus intervalos de dominio y se sitúa en el primer y tercer cuadrante (respecto a las asíntotas).
• Si $K < 0$: La función es creciente en sus intervalos de dominio y se sitúa en el segundo y cuarto cuadrante (respecto a las asíntotas).

Efecto de los parámetros $a$ y $B$ (Traslaciones)

• Si $a > 0$: Traslación horizontal hacia la derecha.
• Si $a < 0$: Traslación horizontal hacia la izquierda.
• Si $B > 0$: Traslación vertical hacia arriba.
• Si $B < 0$: Traslación vertical hacia abajo.

Funciones Exponenciales

Forma general: $f(x) = a^x$, donde $a > 0$ y $a eq 1$.

Comportamiento según la base $a$

• Si $0 < a < 1$: La función es decreciente. Cuanto mayor sea el valor de $a$ (más cercano a 1), la curva es menos pronunciada (más abierta).
• Si $a > 1$: La función es creciente. Cuanto mayor sea el valor de $a$, la curva es más pronunciada (más cerrada).

Traslaciones de Funciones Exponenciales

Tipo 1: Traslación Vertical ($f(x) = a^x + b$)

• Si $b > 0$: Traslación vertical hacia arriba.
• Si $b < 0$: Traslación vertical hacia abajo.

Tipo 2: Traslación Horizontal ($f(x) = a^{x + b}$)

• Si $b > 0$: Traslación horizontal a la izquierda.
• Si $b < 0$: Traslación horizontal a la derecha.

Funciones Logarítmicas

Forma general: $f(x) = \log_a(x)$, donde $a > 0$ y $a eq 1$. Es la función inversa de la exponencial.

Comportamiento según la base $a$

• Si $0 < a < 1$: La función es decreciente. Está más cerrada (más pronunciada) cuanto menor sea el valor de $a$.
• Si $a > 1$: La función es creciente. Es menos pronunciada (más abierta) cuanto mayor sea el valor de $a$.

Traslaciones de Funciones Logarítmicas

Tipo 1: Traslación Vertical ($f(x) = \log_a(x) + B$)

• Si $B > 0$: Traslación vertical hacia arriba.
• Si $B < 0$: Traslación vertical hacia abajo.

Tipo 2: Traslación Horizontal ($f(x) = \log_a(x + B)$)

• Si $B > 0$: Traslación horizontal hacia la izquierda.
• Si $B < 0$: Traslación horizontal hacia la derecha.