Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas: Definiciones Esenciales

Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas

En matemáticas, las funciones son elementos esenciales para describir relaciones entre conjuntos de datos. A continuación, se presentan las definiciones clave y propiedades fundamentales para comprender su comportamiento y aplicación.

Definiciones Básicas de Funciones

• Función de una variable: Toda aplicación que a un número x le hace corresponder un número y, llamada variable dependiente.

• Función real de variable real: Toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de ℝ en ℝ. Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que puede expresarse mediante una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x), variable dependiente o imagen.

• Dominio de definición (Dom(f) o D(f)): El subconjunto S de números reales que tienen imagen se llama dominio de definición de la función f.

• Recorrido o imagen (Im(f) o Rec(f)): El subconjunto de números reales que tienen preimagen se llama recorrido o imagen de la función f.

• Gráfica de una función: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y = f(x), es decir, es el conjunto de puntos:

Tipos Especiales de Funciones

• Función identidad (I(x)): La función que hace corresponder a cada número real el propio número. Se representa por I(x). Así, I(x) = x.

• Función inyectiva o función uno a uno: Una función f se dice inyectiva o función uno a uno si verifica que dos puntos distintos no pueden tener la misma imagen. Una función f(x) es inyectiva si f(a) = f(b) implica a = b.

• Función inversa (f⁻¹(x)): Sea y = f(x) una función. Llamamos función inversa (en caso de que exista) a una función denotada f⁻¹(x) que verifica que (f⁻¹ o f)(x) = (f o f⁻¹)(x) = I(x), donde I(x) es la función identidad. Para que exista la función inversa de f, es necesario que la función f sea inyectiva.

• Función par: Una función y = f(x) se dice función par si para todo x del dominio se verifica que f(-x) = f(x).

• Función impar: Una función y = f(x) se dice función impar si para todo x del dominio se verifica que f(-x) = -f(x).

Propiedades de Funciones Pares e Impares

• Las funciones pares tienen gráficas simétricas respecto al eje de ordenadas.
• Las funciones impares tienen gráficas que presentan simetría central respecto al origen de coordenadas.

Comportamiento de Funciones: Monotonía y Acotación

• Función monótona estrictamente creciente: Una función y = f(x) se dice monótona estrictamente creciente si para cualesquiera dos puntos x₁ y x₂ pertenecientes al dominio de f tales que x₁ < x₂ se verifica que f(x₁) < f(x₂).

• Función monótona estrictamente decreciente: Una función y = f(x) se dice monótona estrictamente decreciente si para cualesquiera dos puntos x₁ y x₂ pertenecientes al dominio de f tales que x₁ < x₂ se verifica que f(x₁) > f(x₂).

• Función acotada superiormente: Una función f es acotada superiormente si existe un número real M tal que f(x) ≤ M para todo x en su dominio. A cualquier M que verifique esto lo llamamos cota superior de la función.

• Función acotada inferiormente: Una función f es acotada inferiormente si existe un número real m tal que f(x) ≥ m para todo x en su dominio. A cualquier m que verifique esto lo llamamos cota inferior de la función.

• Función acotada: Si f es una función acotada superior e inferiormente, decimos simplemente que f está acotada.

• Supremo de una función: Sea f una función acotada superiormente. Llamamos supremo de la función a la menor de todas las cotas superiores de dicha función. Si el supremo se alcanza, decimos que es máximo absoluto.

• Ínfimo de una función: Sea f una función acotada inferiormente. Llamamos ínfimo de la función a la mayor de todas las cotas inferiores de dicha función. Si el ínfimo se alcanza, decimos que es mínimo absoluto.