Conceptos Fundamentales de Funciones y Ecuaciones Matemáticas

Traslación de Gráficas: Movimiento Vertical

• Se da cuando la gráfica se traslada k unidades **hacia arriba (↑)** o **hacia abajo (↓)**.
• Aplica a la **parábola completa (U)**.
• Cuando la expresión está elevada al **cuadrado (²)**.
• Para un desplazamiento **hacia arriba (+)**: f(x) = x² + 3
• Para un desplazamiento **hacia abajo (-)**: f(x) = x² - 3

Traslación de Gráficas: Movimiento Horizontal

• Se da cuando la gráfica se traslada k unidades **hacia la izquierda (←)** o **hacia la derecha (→)**.
• Aplica a la **parábola completa (U)**.
• Cuando la expresión está elevada al **cuadrado (²) *entre paréntesis***.
• Para un desplazamiento **hacia la izquierda (+)**: f(x) = (x + 3)²
• Para un desplazamiento **hacia la derecha (-)**: f(x) = (x - 3)²

Traslación de Gráficas: Funciones con Raíz Cuadrada

• Aplica a la **parábola media** (o media parábola).
• Cuando la función incluye una **raíz cuadrada (√)**.

Ejemplos:

• Vertical hacia arriba: f(x) = √x + 2
• Vertical hacia abajo: f(x) = √x - 4
• Horizontal y Vertical: f(x) = √(x - 3) + 1

Completar el Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)

Fórmula del TCP: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Ejemplo: Dada la función f(x) = x² + 8x - 1

1. Identificar a y b para el TCP: a = x, b = 4, b² = 16.
2. Sumar y restar b² (16) para completar el TCP: f(x) = x² + 8x + 16 - 1 - 16.
3. Factorizar los primeros tres términos: f(x) = (x + 4)² - 1 - 16.
4. Agrupar las constantes: f(x) = (x + 4)² - 1 - 16.
5. Realizar la última operación: f(x) = (x + 4)² - 17.

Ecuaciones de Primer Grado

Forma general: ax + b = 0

Solución: x = -b / a

Ecuaciones de Segundo Grado

Forma general: ax² + bx + c = 0

Fórmula cuadrática: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Funciones Polinomiales

• Para f(x + k): si se **suma (+k)**, la gráfica se desplaza **hacia la izquierda (←)**.
• Para f(x - k): si se **resta (-k)**, la gráfica se desplaza **hacia la derecha (→)**.

Forma general: f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

Función Lineal

Forma general: f(x) = ax + a_0, donde a ≠ 0 y a, a_0 pertenecen al conjunto de los números reales (R).

Pendiente de una Recta

Forma y = mx + b

• m: pendiente
• b: ordenada al origen

Interpretación de la Pendiente:

• Si **m > 0**: la recta es **creciente**.
• Si **m < 0**: la recta es **decreciente**.

Cálculo de la Ecuación de la Recta

Dados los puntos A(-4, 3) y B(2, -9):

1. Calcular la **pendiente (m)** usando la fórmula: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
2. Sustituyendo los puntos: m = (-9 - 3) / (2 - (-4)) = -12 / (2 + 4) = -12 / 6 = -2.
3. Sustituir en la **ecuación punto-pendiente**: y - y₁ = m(x - x₁).
4. Usando el punto A(-4, 3): y - 3 = -2(x - (-4)) → y - 3 = -2(x + 4) → y - 3 = -2x - 8 → y = -2x - 5.

Ecuación Cuadrática y Propiedades de la Parábola

Forma general: y = ax² + bx + c.

• Toda función cuadrática representa una **parábola vertical**.

Orientación de la parábola:

• Si **a > 0**: la parábola abre **hacia arriba (U)**.
• Si **a < 0**: la parábola abre **hacia abajo (∩)**.

El valor absoluto de a afecta la **amplitud**:

• Cuanto más cerca esté a de **cero**, más **amplia** será la parábola (ej: y = (1/2)x²).
• Cuanto más lejos esté a de **cero**, más **estrecha** será la parábola (ej: y = 5x²).

Vértice de la Parábola (V(h, k))

• Coordenada h: h = -b / 2a.
• Coordenada k: k = f(h).

Mínimo y Máximo de la Función Cuadrática

Determinación:

• Si **a > 0** (parábola abre hacia arriba), la función tiene un **valor mínimo** en el vértice.
• Si **a < 0** (parábola abre hacia abajo), la función tiene un **valor máximo** en el vértice.

El valor de k (la coordenada y del vértice) representa el **mínimo** o **máximo** de la función.

Dominio y Rango:

• **Dominio (Dom)**: Para todas las funciones cuadráticas, el dominio es (-∞, ∞) (todos los números reales).
• **Rango (Ran)**:
  • Si es un **máximo** (a < 0): Ran = (-∞, k].
  • Si es un **mínimo** (a > 0): Ran = [k, ∞).

Obtención de la Ecuación Cuadrática a partir de la Gráfica

La **forma estándar** de la ecuación de una parábola es: y = a(x - h)² + k.

Ejemplo: Dados el **vértice V(3, 2)** y un **punto P(0, 4)**.

1. Sustituir el vértice (h, k) en la forma estándar: y = a(x - 3)² + 2.
2. Sustituir el punto (x, y) para encontrar a: 4 = a(0 - 3)² + 2.
3. Resolver para a: 4 - 2 = a(-3)² → 2 = 9a → a = 2/9.
4. La ecuación final es: y = (2/9)(x - 3)² + 2.

Teorema del Residuo (Alternativa a la División Sintética)

Ejemplo: Determinar si (x - 3) es un **factor** del polinomio P(x) = x³ + x² - 7x + 3.

1. Evaluar el polinomio en x = 3 (el valor que hace x - 3 = 0): P(3) = 3³ + 3² - 7(3) + 3.
2. Calcular el resultado: P(3) = 27 + 9 - 21 + 3 = 18.
3. Conclusión: Como P(3) ≠ 0, (x - 3) **no es un factor** del polinomio. (Es factor si el residuo es 0).

Construcción de Polinomios a partir de Raíces Específicas

• El **grado** de un polinomio indica el número de **raíces** y **factores** que posee.
• Los 'ceros' de un polinomio son sus **raíces**.

Forma factorizada general: P(x) = a_n (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n).

Ejemplo: Construir un polinomio con raíces x₁ = -2, x₂ = -1, x₃ = 3 y que pase por el punto A(1, -12).

1. Escribir la forma factorizada con las raíces: P(x) = a_n (x - (-2))(x - (-1))(x - 3).
2. Simplificar: P(x) = a_n (x + 2)(x + 1)(x - 3).
3. Multiplicar los factores:
   • (x + 2)(x + 1) = x² + 3x + 2
   • P(x) = a_n (x² + 3x + 2)(x - 3)
   • P(x) = a_n (x³ - 3x² + 3x² - 9x + 2x - 6)
   • P(x) = a_n (x³ - 7x - 6)
4. Sustituir el punto A(1, -12) en P(x) para encontrar a_n: -12 = a_n (1³ - 7(1) - 6) → -12 = a_n (1 - 7 - 6) → -12 = a_n (-12).
5. Resolver para a_n: a_n = -12 / -12 = 1.
6. El polinomio final es: P(x) = 1 * (x³ - 7x - 6) → P(x) = x³ - 7x - 6.