Conceptos Fundamentales de Funciones, Derivadas e Integrales

Conceptos Fundamentales de Funciones

Definición de Función

Es una correspondencia entre dos conjuntos $I$ y $J$ de los números reales, de modo que cada elemento de $I$ se corresponde con un único elemento de $J$. Denotaremos la función como $f: I \to J$. Al conjunto $I$ lo denominaremos el dominio y a $J$ el codominio.

Clasificación de Funciones

Inyectividad (Uno a Uno)

Sea $f: I \to J$ una función. Decimos que es inyectiva si para cada par $x_1, x_2$ pertenecientes a $I$ con $x_1 \neq x_2$, se cumple que $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Sobreyectividad (Exhaustiva)

Una función $f$ es sobreyectiva si el codominio de $f$ es igual a la imagen de $f$ ($Codominio(f) = Imagen(f)$).

Biyectividad (Función Invertible)

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente. Si $f: I \to J$ es biyectiva, entonces existe su función inversa $f^{-1}: J \to I$.

Teoremas Clave del Cálculo Diferencial

Teorema de Rolle

Sea $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. Si $f(a) = f(b)$, entonces existe al menos un valor $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$.

Teorema del Valor Medio (o de Lagrange)

Sea $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ una función continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$. Entonces existe al menos un valor $c \in (a, b)$ tal que:

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Teorema de Bolzano (o de los Ceros)

Sea $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ una función continua en $[a, b]$. Si $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos (es decir, $f(a) \cdot f(b) < 0$), entonces existe al menos un valor $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Teorema de los Valores Intermedios (o de Darboux)

Sea $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ una función continua. Si $y$ es cualquier valor entre $f(a)$ y $f(b)$ (es decir, $y \in [\min(f(a), f(b)), \max(f(a), f(b))])$, entonces existe al menos un valor $c \in [a, b]$ tal que $f(c) = y$.

Regla de la Cadena

Sean $f: I \to J$ y $g: J \to K$ dos funciones. Si $f$ es derivable en $x_0 \in I$ y $g$ es derivable en $f(x_0) \in J$, entonces la función compuesta $h = g \circ f$, definida como $h(x) = (g \circ f)(x)$, es derivable en $x_0$. Su derivada es:

$$h'(x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0)$$

Integración y Aplicaciones

Suma de Riemann

Es un método para aproximar el área bajo la curva de una función, dividiendo dicha área en una serie de formas simples, generalmente rectángulos.

Integral Definida

Dada una función $f$ en un intervalo $[a, b]$, definimos una partición $P$ como un conjunto de puntos tal que $a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b$. Definimos la norma de la partición (o malla) $||P||$ como el máximo de las longitudes de los subintervalos: $||P|| = \max_{i} (x_i - x_{i-1})$. La integral definida se obtiene como el límite de las sumas de Riemann cuando $||P|| \to 0$.

Integral Indefinida

Dada una función $f$, la integral indefinida se define como el conjunto de todas las primitivas (o antiderivadas) de $f$. Si $F$ es una primitiva de $f$, este conjunto se denota como:

$$\int f(x) \, dx = \{F(x) + C \mid C \text{ es una constante de integración}\}$$

Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)

Sea $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ una función integrable y sea $F: [a, b] \to \mathbb{R}$ una primitiva de $f$. Entonces:

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

(Conocida como la Regla de Barrow).

Cálculo de Áreas Delimitadas

Sea $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ una función continua, y sean $x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ los ceros de la función en el intervalo $(a, b)$. El área total delimitada entre la función $f$ y el eje $x$ viene dada por la suma de los valores absolutos de las integrales en cada subintervalo:

$$\text{Área} = \sum_{i=1}^{n} \left| \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \, dx \right|$$

donde $x_0 = a$ y $x_n = b$.

Volumen de Sólidos de Revolución (Método del Disco)

Dada una función $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ con $f(x) \ge 0$, el volumen $V$ del sólido generado al girar la región bajo la curva alrededor del eje $x$ viene dado por la fórmula:

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$$

Cálculo Multivariable

Gradiente ($\nabla f$)

El gradiente de una función escalar multivariable determina la dirección de máxima variación (máximo crecimiento) de la función en un punto dado.

Hessiano ($H$)

Es la matriz cuadrada de las segundas derivadas parciales de una función multivariable. Se utiliza para clasificar los puntos críticos (máximos, mínimos o puntos de silla) mediante el Criterio de la Segunda Derivada:

• Si $\det(H) < 0$: Punto de silla.
• Si $\det(H) > 0$ y $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0$: Máximo local.
• Si $\det(H) > 0$ y $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0$: Mínimo local.
• Si $\det(H) = 0$: El criterio no es concluyente.