Conceptos Fundamentales de Funciones y Cálculo Matemático

1. Definición de Función

• Función: Una relación 𝑓:𝐴→𝐵f:AB donde cada elemento de 𝐴A (dominio) está relacionado con un único elemento de 𝐵B (codominio).

2. Notación y Tipos de Funciones

• Notación: 𝑓(𝑥)f(x) representa la imagen de 𝑥x bajo la función 𝑓f.
• Funciones inyectivas: Cada elemento de 𝐵B es imagen de, como máximo, un elemento de 𝐴A.
• Funciones suprayectivas: Cada elemento de 𝐵B es imagen de, al menos, un elemento de 𝐴A.
• Funciones biyectivas: Inyectiva y suprayectiva a la vez (cada elemento de 𝐵B es imagen de un único elemento de 𝐴A).

3. Dominio y Rango

• Dominio: Conjunto de todos los posibles valores de entrada 𝑥x (denotado Dom(𝑓)Dom(f)).
• Rango: Conjunto de todos los posibles valores de salida 𝑓(𝑥)f(x) (denotado Rango(𝑓)Rango(f)).

4. Composición de Funciones

• Composición: (𝑓∘𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥))(f∘gf(g(x))
  • Ejemplo: Si 𝑓(𝑥)=𝑥2f(x)=x2 y 𝑔(𝑥)=𝑥+1g(x)=x1, entonces (𝑓∘𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥))=(𝑥+1)2(f∘gf(g(x))=(x+1)2.

5. Funciones Inversas

• Función inversa: 𝑓−1f−1 tal que 𝑓(𝑓−1(𝑥))=𝑥f(f−1(x))=x y 𝑓−1(𝑓(𝑥))=𝑥f−1(f(x))=x.
  • Condición: Solo funciones biyectivas tienen inversa.

6. Límites y Continuidad

• Límite: lim⁡𝑥→𝑎𝑓(𝑥)=𝐿limx→af(x)=L significa que 𝑓(𝑥)f(x) se aproxima a 𝐿L cuando 𝑥x se aproxima a 𝑎a.
• Continuidad: 𝑓f es continua en 𝑥=𝑎x=a si lim⁡𝑥→𝑎𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎)limx→af(x)=f(a).

7. Derivadas

• Definición: 𝑓′(𝑥)=lim⁡ℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎf′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h
• Reglas importantes:
  • Regla de la suma: (𝑓+𝑔)′=𝑓′+𝑔′(f+g)′=f′+g′
  • Regla del producto: (𝑓𝑔)′=𝑓′𝑔+𝑓𝑔′(fg)′=f′g+fg′
  • Regla del cociente: (𝑓𝑔)′=𝑓′𝑔−𝑓𝑔′𝑔2fg)′=f′g−fg′g2
  • Regla de la cadena: (𝑓∘𝑔)′(𝑥)=𝑓′(𝑔(𝑥))⋅𝑔′(𝑥)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)

8. Integrales

• Integral indefinida: ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=𝐹(𝑥)+𝐶∫f(x)dx=F(x)+C, donde 𝐹′(𝑥)=𝑓(𝑥)F′(x)=f(x) y 𝐶C es la constante de integración.
• Integral definida: ∫𝑎𝑏𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∫abf(x)dx es el área bajo la curva 𝑓(𝑥)f(x) desde 𝑥=𝑎x=a hasta 𝑥=𝑏x=b.

9. Teoremas Importantes

• Teorema Fundamental del Cálculo:
  • Parte 1: Si 𝐹F es una antiderivada de 𝑓f, entonces ∫𝑎𝑏𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)∫abf(x)dx=F(b)−F(a).
  • Parte 2: 𝑑𝑑𝑥(∫𝑎𝑥𝑓(𝑡) 𝑑𝑡)=𝑓(𝑥)ddx(∫axf(t)dt)=f(x).

10. Funciones Comunes y sus Derivadas

• Potencia: 𝑓(𝑥)=𝑥𝑛f(x)=xn ⟹ 𝑓′(𝑥)=𝑛𝑥𝑛−1f′(x)=nxn−1
• Exponencial: 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥f(x)=ex ⟹ 𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥f′(x)=ex
• Logarítmica: 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥)f(x)=ln(x) ⟹ 𝑓′(𝑥)=1𝑥f′(x)=1x
• Seno: 𝑓(𝑥)=sin⁡(𝑥)f(x)=sin(x) ⟹ 𝑓′(𝑥)=cos⁡(𝑥)f′(x)=cos(x)
• Coseno: 𝑓(𝑥)=cos⁡(𝑥)f(x)=cos(x) ⟹ 𝑓′(𝑥)=−sin⁡(𝑥)f′(x)=−sin(x)
• Tangente: 𝑓(𝑥)=tan⁡(𝑥)f(x)=tan(x) ⟹ 𝑓′(𝑥)=sec⁡2(𝑥)f′(x)=sec2(x)

11. Propiedades de las Funciones Trigonométricas

• Identidades trigonométricas:
  • sin⁡2(𝑥)+cos⁡2(𝑥)=1sin2(x)+cos2(x)=1
  • 1+tan⁡2(𝑥)=sec⁡2(𝑥)1+tan2(x)=sec2(x)
  • sin⁡(2𝑥)=2sin⁡(𝑥)cos⁡(𝑥)sin(2x)=2sin(x)cos(x)
  • cos⁡(2𝑥)=cos⁡2(𝑥)−sin⁡2(𝑥)cos(2x)=cos2(x)−sin2(x)

12. Asíntotas y Comportamiento Asintótico

• Asíntota vertical: lim⁡𝑥→𝑐±𝑓(𝑥)=±∞limx→c±f(x)=±∞
• Asíntota horizontal: lim⁡𝑥→±∞𝑓(𝑥)=𝐿limx→±∞f(x)=L

13. Crecimiento y Decrecimiento

• Creciente: 𝑓′(𝑥)>0f′(x)>0
• Decreciente: 𝑓′(𝑥)<0f′(x)<0

14. Concavidad e Inflexión

• Concavidad:
  • Cóncava hacia arriba: 𝑓′′(𝑥)>0f′′(x)>0
  • Cóncava hacia abajo: 𝑓′′(𝑥)<0f′′(x)<0
• Punto de inflexión: 𝑓′′(𝑥)=0f′′(x)=0 y cambia de signo.