Conceptos Fundamentales de Física: Ondas, Sonido, Leyes de Kepler y Gravitación Universal

Física Fundamental: Ondas, Sonido, Kepler y Gravitación

Las ondas sonoras son ondas mecánicas, porque necesitan un medio material para propagarse. Son longitudinales, porque las partículas del medio vibran en la misma dirección de propagación de la onda.

Velocidad de Propagación del Sonido

La velocidad de propagación del sonido solo depende de las propiedades del medio. Se puede expresar generalmente como la raíz cuadrada del módulo elástico del medio dividido por su densidad inercial: v = √(Módulo Elástico / Densidad Inercial). A mayor rigidez del medio, mayor será la velocidad de propagación.

• En Fluidos: v = √(B / ρ), donde B es el módulo de compresibilidad y ρ es la densidad.
• En Sólidos: v = √(Y / ρ), donde Y es el módulo de Young y ρ es la densidad.
• En Gases Ideales: v = √(γP₀ / ρ), donde γ es el coeficiente adiabático, P₀ es la presión del gas no perturbado y ρ es la densidad.

  Considerando la ecuación de estado de los gases ideales (P₀ = ρRT/M, donde R es la constante de los gases, T la temperatura y M la masa molar), la velocidad también puede expresarse como v = √(γRT/M).

  La velocidad de propagación en gases aumenta con la temperatura y es mayor en gases más ligeros.

Intensidad de una Onda Sonora

La intensidad de una onda (I) se define como la energía (E) que llega por unidad de tiempo (t) a una superficie (S) perpendicular a la dirección de propagación. Es decir, I = E / (S·t).

Dado que la potencia (P) es E/t y para una onda esférica la superficie es S = 4πr², la intensidad se expresa como:

I = P / (4πr²)

Alternativamente, la intensidad también puede expresarse en términos de la amplitud de presión (ΔP), la densidad del medio (ρ) y la velocidad de propagación (v):

I = (ΔP)² / (2ρv)

Tono y Frecuencia

• Tonos agudos: Corresponden a altas frecuencias.
• Tonos graves: Corresponden a bajas frecuencias.

Nivel de Intensidad Sonora (Decibelios)

El nivel de intensidad sonora (β) se mide en decibelios (dB) y se calcula como:

β = 10 log<sub>10</sub> (I / I₀)

Donde I₀ es la intensidad de referencia, que es el umbral de audición humana (I₀ = 10<sup>-12</sup> W/m²).

Ondas Estacionarias

Ondas Estacionarias en Cuerdas

Para una cuerda de longitud L con ambos extremos fijos, las condiciones para la formación de ondas estacionarias son:

• La longitud de onda (λ) debe cumplir L = nλ/2, donde n = 1, 2, 3, ... (número de armónico).
• Despejando λ = 2L/n.
• Como la velocidad de propagación (v) se relaciona con la frecuencia (f) y la longitud de onda (λ) por v = fλ, las frecuencias de resonancia (armónicos) son:

f = nv / (2L)

La velocidad de propagación v en la cuerda depende de la tensión y la densidad lineal de la cuerda.

Ondas Estacionarias en Tubos Sonoros

Tubos Abiertos en un Extremo y Cerrados en el Otro

En un tubo cerrado en un extremo y abierto en el otro, se forma un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el extremo abierto. Las condiciones para la resonancia son:

• La longitud del tubo (L) debe cumplir L = (2n+1)λ/4, donde n = 0, 1, 2, ... (solo armónicos impares).
• Despejando λ = 4L / (2n+1).
• Las frecuencias de resonancia (armónicos impares) son:

f = (2n+1)v / (4L)

Tubos Abiertos en Ambos Extremos

En un tubo abierto en ambos extremos, se forman vientres en ambos extremos. Las condiciones para la resonancia son:

• La longitud del tubo (L) debe cumplir L = nλ/2, donde n = 1, 2, 3, ... (todos los armónicos).
• Despejando λ = 2L/n.
• Las frecuencias de resonancia (armónicos) son:

f = nv / (2L)

Efecto Doppler

El Efecto Doppler describe el cambio aparente en la frecuencia de una onda percibida por un observador cuando la fuente de la onda o el observador (o ambos) están en movimiento relativo.

• Fuente Acercándose al Observador: La frecuencia recibida (f_R) es mayor que la frecuencia emitida (f_E).

f_R = f_E (V / (V - V_F))

Fuente Alejándose del Observador: La frecuencia recibida (f_R) es menor que la frecuencia emitida (f_E).

f_R = f_E (V / (V + V_F))

Donde V es la velocidad de propagación de la onda en el medio y V_F es la velocidad de la fuente respecto al medio.

Teorías Cosmológicas y Leyes de Kepler

Modelos Geocéntricos y Heliocéntricos

• Las teorías geocéntricas postulaban que todos los cuerpos celestes giraban alrededor de la Tierra en esferas concéntricas.
• Las teorías heliocéntricas defienden que la Tierra y el resto de planetas del sistema solar giran alrededor del Sol.

Leyes de Kepler del Movimiento Planetario

Johannes Kepler formuló tres leyes empíricas que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol:

1. Primera Ley (Ley de las Órbitas): Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, que está situado en uno de los focos de la elipse.
2. Segunda Ley (Ley de las Áreas): La recta que une al planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto implica que la velocidad areolar del planeta es constante.
3. Tercera Ley (Ley de los Períodos): Los cuadrados de los períodos orbitales (T) de los planetas son directamente proporcionales a los cubos de sus distancias medias (r) al Sol. Es decir:

T² = kr³

Donde k es una constante de proporcionalidad que depende de la masa del Sol y la constante de gravitación universal.

Momento Angular y Gravitación Universal

Momento Angular

El momento angular (L) de una partícula con respecto a un origen se define como el producto vectorial de su vector de posición (r) y su momento lineal (p):

L = r x p = r x (mv)

Para un movimiento circular, la magnitud del momento angular es L = mvr. Si expresamos la velocidad tangencial (v) en términos de la velocidad angular (ω) como v = ωr, entonces:

L = mωr²

Además, como la velocidad angular ω = 2π/T (donde T es el período), el momento angular puede escribirse como:

L = m (2π/T) r²

Demostración de la Segunda Ley de Kepler a partir del Momento Angular

La segunda ley de Kepler establece que la velocidad areolar (área barrida por unidad de tiempo) es constante. Consideremos un planeta que se desplaza en su órbita. El área infinitesimal dA barrida por el vector de posición r en un tiempo dt es aproximadamente la de un triángulo con base r y altura r dθ. Así, dA = (1/2) r (r dθ) = (1/2) r² dθ.

La velocidad areolar es dA/dt = (1/2) r² (dθ/dt).

Sabemos que la magnitud del momento angular L para un movimiento planetario es L = m r² (dθ/dt) (donde m es la masa del planeta). Despejando dθ/dt = L / (mr²).

Sustituyendo esto en la expresión de la velocidad areolar:

dA/dt = (1/2) r² (L / (mr²)) = L / (2m)

Dado que la masa del planeta m es constante y el momento angular L se conserva (ya que la fuerza gravitatoria es central y no ejerce torque), se concluye que dA/dt es constante, lo que demuestra la segunda ley de Kepler.

Ley de Gravitación Universal de Newton

La fuerza de atracción gravitatoria (F) entre dos masas (M₁ y M₂) separadas por una distancia (r) es:

F = G (M₁M₂ / r²)

Donde G es la constante de gravitación universal.

A partir de la segunda ley de Newton (F = ma), la aceleración gravitatoria (a) producida por una masa M a una distancia r es a = GM / r². Para un objeto a una altura h sobre la superficie de un planeta de masa M_T y radio R_T, la aceleración es a = GM_T / (R_T + h)².

Derivación de la Tercera Ley de Kepler a partir de la Gravitación Universal

Para un planeta de masa M_P en órbita circular alrededor de una estrella de masa M_S, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento orbital:

F_g = F_c

G (M_S M_P / r²) = M_P ω² r

Como la velocidad angular ω = 2π/T, sustituimos:

G (M_S M_P / r²) = M_P (4π²/T²) r

Simplificando la masa del planeta (M_P) y reordenando para T², obtenemos:

T² = (4π² / (G M_S)) r³

Esta es la tercera ley de Kepler, donde la constante de proporcionalidad es k = 4π² / (G M_S).

Fórmulas Adicionales y Conceptos Relacionados

• Masa de la Estrella Central (o cuerpo central): A partir de la tercera ley de Kepler, se puede despejar la masa del cuerpo central (M_C) si se conocen el período (T) y el radio orbital (r) de un satélite:

  M_C = (4π²r³) / (GT²)

• Aceleración de la Gravedad (g):

  g = GM / r² (en la superficie o a una distancia r del centro de un cuerpo de masa M)

  Relación entre masa gravitatoria (M_g) e inercial (M_i): G M_g M_{planeta} / R_{planeta}² = M_i g, lo que implica g = (M_g / M_i) (G M_{planeta} / R_{planeta}²). Experimentalmente, M_g = M_i.

  Aceleración de la gravedad dentro de una esfera uniforme de densidad ρ: g = (4/3)πGρr

• Velocidad Orbital (circular):

  v = √(GM/R) (para un objeto en órbita circular de radio R alrededor de una masa M)

• Período Orbital:

  T = √(4π²r³ / (GM))

• Velocidad Angular:

  ω = 2π/T

• Velocidad Tangencial:

  V = ωR

• Volumen de una Esfera:

  Volumen = (4/3)πr³

• Masa a partir de Densidad y Volumen:

  M = ρ · Volumen

• Área de un Círculo:

  Área = πr²

• Ecuaciones Cinemáticas Básicas (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado):

  V = V₀ + at (donde a es la aceleración, e.g., g)

  X = X₀ + V₀t + (1/2)at² (con a = -g si se considera la gravedad hacia abajo)